TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 123

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Untersuchen Sie, ob es sich bei der folgenden Relation  R \subseteq A \times B um eine Funktion, injektive Funktion, surjektive Funktion bzw. bijektive Funktion handelt.

R = \left\lbrace \left(x^2,\frac{1} {x^2} \right) \  | \  x \in \mathbb{R}^{+} \right\rbrace, A = B = \mathbb{R}^{+}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Relation
Relation[Bearbeiten]

Eine Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts A \times B. Ist \!\ A = B so spricht man von einer binären Relation. Anstelle von (a,b) \in R schreibt man auch \!\ aRb, anstelle von (a,b) \notin R auch aR\!\!\!/b.

Funktion
Funktion[Bearbeiten]

Eine Funktion oder Abbildung f : A \to B von A nach B ist eine Relation  R_{f} \subseteq A \times B mit der Eigenschaft, dass zu jedem a \in A genau ein b \in B mit aR_{f}b existiert. Man schreibt dafür b = f(a). Der Graph einer Funktion f : A \to B ist die Menge \{(a, f(a))|a \in A\} \subseteq A \times B.

Injektivität
Injektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": a_{1}, a_{2}  \in  A, a_{1} \neq a_{2} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{2}) oder äquivalent: a_{1}, a_{2}  \in  A, f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}

Surjektivität
Surjektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: \forall b\in B\ \exists a\in A: b=f(a)

Bijektivität
Bijektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion  f^{-1}().

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Funktion[Bearbeiten]

Zuerst muss man sich überlegen, ob das überhaupt eine Funktion ist

Damit die Relation eine Funktion ist muss jedes a \in A = \R^+ genau einem b \in B = \R^+ zugeordnet werden.

Nun zuerst bildet  x^2 \quad A = \R^+ auf B' = \R^+ ab. Und dann wird B' = \R^+ durch \frac 1{x^2} auf B=\R^+ abgebildet.

Wichtig ist es hier zu erkennen, dass

  • jedes a \in A = \R^+ abgebildet wird (es gibt keine Bereiche/ Werte in \R^+ die man nicht in die beiden Funktionen einsetzen dürfte)
  • jedes a \in A = \R^+ auf nur genau ein b \in B = \R^+ abgebildet wird (es kann nicht passieren dass für ein a \in A = \R^+ mehrere b \in B = \R^+ möglich sind)

Daher sind die Vorrausetzungen für eine Funktion erfüllt und die Relation ist eine Funktion.

f \colon \begin{cases}

  \R^+ \to \R^+\\
  x^2 \mapsto \frac 1{x^2}
\end{cases}

Nachdem x^2 in unserem Definitions/ Wertebereich bijektiv ist, gibt es eine Umkehrfunktion davon und man kann die Funktion noch etwas einfacher darstellen:

f \colon \begin{cases}

  \R^+ \to \R^+\\
  x \mapsto \frac {1} {x}
\end{cases}

Injektivität[Bearbeiten]

\frac {1} {x} ist in \R^+ injektiv, weil für alle a_1, a_2 \in A : a_1 \neq a_2 \Rightarrow f(a_1) \neq f(a_2) gilt. (es gibt alle keine Funktionswerte die doppelt vorkommen)


Surjektivität[Bearbeiten]

\frac {1} {x} ist in \R^+ surjektiv, weil \forall b \in B \exist a \in A : b = f(a) gilt. (für jedes Element des Bildbereichs B lässt sich ein zugehöriges Element aus dem Definitionsbereich A finden)

Bijektivität[Bearbeiten]

nachdem die Funtkion sowohl injektiv als auch surjektiv ist, ist die Funktion automatisch auch bijektiv

Anmerkung[Bearbeiten]

Das Beispiel wurde hier schon von früheren Semestern behandelt. Dort gibt es auch einen Graphen von  \frac {1} {x^2}

Links zu anderen Lösungen desselben Beispiels[Bearbeiten]

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 113