TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 123

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Untersuchen Sie, ob es sich bei der folgenden Relation um eine Funktion, injektive Funktion, surjektive Funktion bzw. bijektive Funktion handelt.

Hilfreiches[edit]

Relation
Relation[edit]

Eine Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts . Ist so spricht man von einer binären Relation. Anstelle von schreibt man auch , anstelle von auch .

Funktion
Funktion[edit]

Eine Funktion oder Abbildung von nach ist eine Relation mit der Eigenschaft, dass zu jedem genau ein mit existiert. Man schreibt dafür . Der Graph einer Funktion ist die Menge .

Injektivität
Injektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": oder äquivalent:

Surjektivität
Surjektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf:

Bijektivität
Bijektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion .

Lösungsvorschlag[edit]

Funktion[edit]

Zuerst muss man sich überlegen, ob das überhaupt eine Funktion ist

Damit die Relation eine Funktion ist muss jedes genau einem zugeordnet werden.

Nun zuerst bildet auf ab. Und dann wird durch auf abgebildet.

Wichtig ist es hier zu erkennen, dass

  • jedes abgebildet wird (es gibt keine Bereiche/ Werte in die man nicht in die beiden Funktionen einsetzen dürfte)
  • jedes auf nur genau ein abgebildet wird (es kann nicht passieren dass für ein mehrere möglich sind)

Daher sind die Vorrausetzungen für eine Funktion erfüllt und die Relation ist eine Funktion.

Nachdem in unserem Definitions/ Wertebereich bijektiv ist, gibt es eine Umkehrfunktion davon und man kann die Funktion noch etwas einfacher darstellen:

Injektivität[edit]

ist in injektiv, weil für alle gilt. (es gibt alle keine Funktionswerte die doppelt vorkommen)


Surjektivität[edit]

ist in surjektiv, weil gilt. (für jedes Element des Bildbereichs B lässt sich ein zugehöriges Element aus dem Definitionsbereich A finden)

Bijektivität[edit]

nachdem die Funtkion sowohl injektiv als auch surjektiv ist, ist die Funktion automatisch auch bijektiv

Anmerkung[edit]

Das Beispiel wurde hier schon von früheren Semestern behandelt. Dort gibt es auch einen Graphen von

Links zu anderen Lösungen desselben Beispiels[edit]

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 113