TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 138

Untersuchen Sie, ob es sich bei der folgenden Relation $R\subseteq A\times B$ um eine Funktion, injektive Funktion, surjektive Funktion bzw. bijektive Funktion handelt.

$R=\{(x^2,\frac{1}{x^2})|x\in {ℝ}^{+}\},A=B={ℝ}^{+}$

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Lösungsvorschlag von Schakal

Da die $x^2$ injektiv ist und $\frac{1}{x^2}$ jedes Element aus ${ℝ}_{+}$ nur einmal zugeordnet wird, ist diese injektiv. Die Funktion ist surjektiv da im unendlichen auch 0 erreicht wird.

(FALSCH: die Funktion nähert sich unendlich lang an und 0 wird nie erreicht. Die Funktion ist dennoch bijektiv, siehe Link unten)

Hilfreiches

Relation

Relation

Eine Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts $A\times B$. Ist $A=B$ so spricht man von einer binären Relation. Anstelle von $(a,b)\in R$ schreibt man auch $aRb$, anstelle von $(a,b)\notin R$ auch $aR/b$.

Funktion

Funktion

Eine Funktion oder Abbildung $f:A\to B$ von $A$ nach $B$ ist eine Relation $R_f\subseteq A\times B$ mit der Eigenschaft, dass zu jedem $a\in A$ genau ein $b\in B$ mit $a{R}_{f}b$ existiert. Man schreibt dafür $b=f(a)$. Der Graph einer Funktion $f:A\to B$ ist die Menge $\{(a,f(a))|a\in A\}\subseteq A\times B$.

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_1,a_2\in A,a_1\ne a_2\Rightarrow f(a_1)\ne f(a_2)$ oder äquivalent: $a_1,a_2\in A,f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2$

Surjektivität

Surjektivität

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: $\mathrm{\forall }b\in B\mathrm{\exists }a\in A:b=f(a)$

Bijektivität

Bijektivität

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion $f^{-1}()$.

Links zu anderen Lösungen desselben Beispiels

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 123