TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 66

Lösen Sie die folgenden Kongruënzen (d.h. Gleichungen in Restklassen) bzw. beweisen Sie die Unlösbarkeit:
a) $3x\equiv 9\;({\text{mod}}\ 11)$
b) $3x\equiv 9\;({\text{mod}}\ 12)$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Restklassen

Restklassen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Restklassen modulo $m$ :

${\overline {a}}=\lbrace a+km|k\in \mathbb {Z} \rbrace _{m}$

Lösung von Hapi[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rechnen mit Kongruenzen

Allgemeines:

Modulo teilt Werte in Restklassen durch Division mit dem Mod-Wert e, d.h. beide Werte haben bei der Division durch den Faktor m (Modulo) denselben Rest.

a $\equiv$ b mod m bedeutet daher bei Bestehen der Kongruenz daß a/m und b/m denselben Rest haben. Daraus folgt, daß m | (b-c) gilt und somit m den Term (b-c) ohne Rest teilt (sonst nicht kongruent!).

Weiters bedeutet 3a $\equiv$ 3b mod m dasselbe wie a $\equiv$ b mod m, man kann also die linke Seite des Ausdrucks um den gemeinsamen Teiler kürzen, wenn auf der rechten Seite m nicht teilbar ist.

Ist m aber ebenfalls teilbar, so lautet die Rechenregel 3a $\equiv$ 3b mod 3m entspricht a $\equiv$ b mod m, d.h. auch m muß dividiert werden.

Eine Kongruenz der Form ax $\equiv$ b ist genau dann lösbar, wenn der ggT (a, m ) die Zahl c teilt.

ad a) 3x $\equiv$ 9 mod 11, x $\equiv$ 3 mod 11 d.h. 11 | (3-x),

Es gibt einen größten gemeinsamen Teiler für die Werte a und b, daher lösbar.

Allgemein: x = c + m*k, für alle k (1..unendlich) aus den natürliche Zahlen N

In diesem Fall: x = 3 + 11*k für alle k (1.. $\infty$ ) = 14,25,36,...

ad b) 3x $\equiv$ 9 mod 12, x $\equiv$ 3 mod 4 d.h. 4 | (3-x), oder 12 | (9 - 3x)

D.h. es gibt eine Lösung, weil der ggT von (3x,12) die Zahl 9 teilt.

Allgemein: x = c + m*k, für alle k (1..unendlich) aus den natürliche Zahlen N

In diesem Fall: x = 3 + 4*k für alle k (1.. $\infty$ ) = 7,11,15,...

Hapi

Anmerkung: Die erste Version einer Lösung für 76a war falsch! Habe die Gesetzmäßigkeiten falsch beurteilt.

Beispiel:

8x $\equiv$ 4 mod 16, div 4 = 2x $\equiv$ 1 mod 4, unlösbar, da b < a

8x $\equiv$ 4 mod 15, div 4 = 2x $\equiv$ 1 mod 15, lösbar, x = 8 +1*15k

5x $\equiv$ 9 mod 11, unlösbar, da kein gemeinsamer Teiler

Anmerkung von sunmmoonlight[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

${\text{5x}}\equiv {\text{9 mod 11}}$ , ist lösbar ${\text{x}}={\text{4 + 11*k}}$

Mein Lösungsweg:

$\mathbb {Z} _{11}=\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}},{\overline {4}},{\overline {5}},{\overline {6}},{\overline {7}},{\overline {8}},{\overline {9}},{\overline {10}}\}$