TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 282

Angabe

Untersuchen Sie, ob die folgende Struktur ein Ring, Integritätsbereich bzw. Körper ist:

$M=\mathbb{Q}[\sqrt{7}]=\{a+b\ast \sqrt{7}|a,b\in \mathbb{Q}\}$ mit der Addition und Multiplikation aus $ℝ$.

Lösungsvorschlag von mnemetz

Für die Addition

Abgeschlossenheit

$(w+x\ast \sqrt{7})+(y+z\ast \sqrt{7})=(w+y)+(x+z)\ast \sqrt{7})$

w + y $\in \mathbb{Q}$, x + z $\in \mathbb{Q}\Rightarrow$ abgeschlossen

Assoziativität

$a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$

• $a=(u+v\ast \sqrt{7})$
• $b=(w+x\ast \sqrt{7})$
• $c=(y+z\ast \sqrt{7})$

$\begin{array}{cc}(u+v\ast \sqrt{7})+((w+x\ast \sqrt{7})+(y+z\ast \sqrt{7}))& =((u+v\ast \sqrt{7}+(w+x\ast \sqrt{7}))+(y+z\ast \sqrt{7})\\ (u+w+y)+(v+x+z)\ast \sqrt{7}& =(u+w+y)+(v+x+z)\ast \sqrt{7}\end{array}$

Daher: assoziativ

Neutrales Element (Einheitselement)

$e=0+0\ast \sqrt{7}=0$

Inverses Element

$(x+y\ast \sqrt{7}{)}^{\prime }=(-x)+(-y)\ast \sqrt{7}$

Kommutativität

trivial

Schlussfolgerung

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Für die Multiplikation

Abgeschlossenheit

$(w+x\ast \sqrt{7})\ast (y+z\ast \sqrt{7})=w\ast y+w\ast z\ast \sqrt{7}+y\ast x\ast \sqrt{7}+7\ast x\ast z=\underset{\in \mathbb{Q}}{\underbrace{(w\ast y+7\ast x\ast z)}}+\underset{\in \mathbb{Q}}{\underbrace{(w\ast z+y\ast x)\ast \sqrt{7})}}$

abgeschlossen

Assoziativität

trivial. Ist gegeben.

Neutrales Element

$e=1+0\ast \sqrt{7}$

Inverses Element

$\begin{array}{cc}(x+y\ast \sqrt{7})\ast (x^{\prime }+y^{\prime }\ast \sqrt{7})& =1+0\ast \sqrt{7}\\ x^{\prime }+y^{\prime }\ast \sqrt{7}& =\frac{1+0\ast \sqrt{7}}{x+y\ast \sqrt{7}}\\ x^{\prime }+y^{\prime }\ast \sqrt{7}& =\frac{(1+0\ast \sqrt{7})\ast (x-y\ast \sqrt{7}}{x^2+7\ast y^2}\\ \end{array}$

Untersuchung des Nenners der rechten Seite:

$\begin{array}{cc}{x}^2& =7\ast y^2\\ x& =\pm \sqrt{7}-y\\ \end{array}$

Kommutativität

trivial

Schlussfolgerung

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Schlussfolgerung

Es liegt ein Körper für $⟨M,+,\ast ⟩$ vor.

Webressourcen

• f.thread:30759&highlight=Ringe+Addition+Multiplikation
• http://stud4.tuwien.ac.at/~e0425426/Mathebeispiele/linalg_021.pdf
• https://web.archive.org/web/*/www.informatik-forum.at/attachment.php?attachmentid=4042&d=1101136063
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