Exzerpt aus TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 531:
Sei
die lineare Abbildung mit
,
.
- Lineare Abbildung
Definition:
Seien
und
Vektorräume über dem Körper
.
heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn
![{\displaystyle \forall {\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in V:\quad f({\overrightarrow {x}}\oplus {\overrightarrow {y}})=f({\overrightarrow {x}})\boxplus f({\overrightarrow {y}})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=76f77aa333ccd6197c0ef525d0c1863b&mode=mathml)
![{\displaystyle \forall \lambda \in K:\quad f(\lambda {\overrightarrow {x}})=\lambda f({\overrightarrow {x}})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=86cf5d4a9c028a7e8aa2e3a37ac5526f&mode=mathml)
Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix
festgelegt werden, für die gilt:
![{\displaystyle \forall {\overrightarrow {x}}\in V:\quad f({\overrightarrow {x}})=M{\overrightarrow {x}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c2a703cdd465d6fcccf9141cf209ca8a&mode=mathml)
Spezialisierung:
Die kanonische Basis des Vektorraums
bildet
.
Wir wollen
und suchen daher den ersten Spaltenvektor als Linearkombination der beiden gegebenen Vektoren
und
Der Spaltenvektor
entsteht aus
;
Nun wenden wir die Rechenregeln für lineare Abbildungen an (siehe Definition 1./2.).
=
=
=
.
Selbes Prinzip...
Der Spaltenvektor
entsteht aus
;
=
=
=
.
Die resultierende Matrix ist also
ist die Einheitsmatrix und daher
Wikipädia:
Beispiele: