TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 168

WS08 Beispiel 168 ist hier zu finden TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 166

Angabe

Man bestimme die Anzahl aller Anordnungen (Permutationen) der Buchstaben a,b,c,d,e,f,g,h in denen weder der Block "abcd" noch der Block "fa" vorkommt. (Hinweis: Die Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge ist $n!$).

Lösungsvorschlag von mnemetz

Betrachte

$\underbrace {\text{a b c d e f g h}} _{\text{8 Auswahlen o. Wh.}}$

Daraus folgt: $n=8$: Alle Möglichkeiten, die 8 Buchstaben anzuordnen ist 8! = 40.320.

Betrachte Anordnungsmöglichkeiten Block "abcd":

${\text{5 Anordnugen mögl. }}{\begin{cases}\underbrace {\begin{matrix}a&b&c&d&e&f&g&h\\X&X&X&X&&&&\\-&X&X&X&X&&&\\-&-&X&X&X&X&&\\-&-&-&X&X&X&X&\\-&-&-&-&X&X&X&X\\\end{matrix}} _{\text{4 Buchst. anordbar}}\end{cases}}$

Somit ergibt sich für die Anodnungsmöglichkeiten von "abcd":

$5*4!=120$

Die Anzahl aller Anordnungen (Permutationen) der Buchstaben a,b,c,d,e,f,g,h in denen der Block "abcd" nicht vorkommt ist somit: $8!-5*4!=40320-120=40200$.

Betrachte Anordnungsmöglichkeiten Block "fa":

${\text{7 Anordnungen mögl. }}{\begin{cases}\underbrace {\begin{matrix}a&b&c&d&e&f&g&h\\X&X&&&&&&\\-&X&X&&&&&\\-&-&X&X&&&&\\-&-&-&X&X&&&\\-&-&-&-&X&X&&\\-&-&-&-&-&X&X&\\-&-&-&-&-&-&X&X\\\end{matrix}} _{\text{6 Buchst. anordbar}}\end{cases}}$

Somit ergibt sich für die Anodnungsmöglichkeiten von "fa":

$7*6!=5040$

Die Anzahl aller Anordnungen (Permutationen) der Buchstaben a,b,c,d,e,f,g,h in denen der Block "fa" nicht vorkommt ist somit: $8!-7*6!=40320-5040=35280$.

Schluss

Nun muss man noch den Fall berücksichtigen, dass man die Anordnung "fabcd" hat. Für diese gibt es 4 Möglichkeiten, wobei jeweils 3 Plätze frei bleiben -> 4*3!

Die Lösung sieht dann schlussendlich (glaube ich), nach Anwendung des Prinzips der Siebformel, so aus: 8! - 5*4! - 7*6! + 4*3! = 35.184

lg f.l.o.

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Siehe auch: TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 161, TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 162