Sei ein Ring. Man zeige, dass dann auch mit den Operationen
ein Ring ist.
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier:
Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
(Mit ist hier das Paar gemeint, dessen erste Komponente ist, und dessen zweite Komponente ist. Wenn zum Beispiel der Ring der ganzen Zahlen ist, dann wäre das Paar so ein .)
- Ring
Ring[Bearbeiten, Wikipedia, 2.68 Definition]
Ein Ring ist eine Menge mit zwei binären Operationen und , sodass
- eine kommutative Gruppe ist,
- eine Halbgruppe ist,
- die Distributivgesetze
- und
- für alle gelten.
Ist wahrscheinlich eh falsch, aber ich probiers mal..
Damit ich leichter Arbeiten kann, erschaffe ich eine neue Menge "S".
S = R x R
Unsere Problemstellung lautet nun: Ist ein Ring? Gehen wir also alle Voraussetzungen für Ringe durch:
- ist sicher eine kommutative Gruppe, da schon eine ist und bei Operationen in R x R dieselben Regeln gelten müssen, wie in R selbst.
- ist sicher eine Halbgruppe, da schon eine ist.
- da in R die Distributivgesetze gelten, gelten sie auch in R x R.
Siehe Diskussion
Hab grad gesehen, dass das Beispel schon gelöst im Wiki steht: Beispiel 297
Ist echt nur stures nachrechnen - ich rechne es trotzdem mal vor..
Siehe Diskussion
Ich zeige gleich allgemeiner: Ist ein Ring, , so ist auch einer mit den Operationen:
Additive Gruppe [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
für alle
Sei nun das Einheitselement von . Es ist Einheitselement von .
, denn:
Multiplikative Halbgruppe [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
für alle