TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 33

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Man berechne rechnerisch (ohne Taschenrechner) alle Werte vom in der Form .

Umrechnung in die Polarform[edit]

Einleitende Berechnungen[edit]

Es gilt zur Umrechnung in die Polarform: !

Die der umzurechnede Gleichung ist:

  • da

Ein zu führender Nachweis[edit]

Nachweis mittels gleichseitigem Dreieck[edit]

Wir müssen nun beweisen, dass gilt.

Man hat ein gleichseitiges Dreieck. Die Hälfte dieses Dreiecks ist ein rechtwinkeliges Dreieck, wobei die anderen beiden Winkel 60° und 30° haben.


Beispiel59 dreieck.png


Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ist:

Wir können das vereinfachen:


Von nun an gehen wir vom halben Dreieck aus, wobei das alte h nun zu einer Kathete wird: ist der Winkel, der durch die Dreieckshalbierung in der Mitte durchgeschnitten wurde; G=Gegenkathete, A=Ankathete, der Winkel ist 30°.

Also gilt umgekehrt: Q.e.d.

(arctan ist die Umkehrfunktion von tan!)

Unser Ergebnis oben vor dem Nachweis hat ein negatives Vorzeichen - aber bei der arctan-Funktion liefern 30° und -30° denselben Wert (betragsmässig):

Bsp59 arctantan.png


Nachweis mittels Einheitskreis[edit]

Durch die Beziehungen

kann unter Verwendung des Einheitskreises auch die Analogie -30° = nachgewiesen werden.

Umrechnung in Polarkoordinaten[edit]

(Folgendes bis zur Lösung sind nur Anmerkungen)!

Zuerst Angabe in Grad, danach in Bogenmaß. Die Umrechnungsformeln sind:

  • Von Grad nach Bogenmaß:
  • Von Bogenmaß nach Grad:

Polarformdarstellung der Gleichung:

Lösung[edit]

Mittels Satz von Moivre[edit]

Die "Wurzelformel" ist: (Siehe auch https://web.archive.org/web/20180817161334/https://de.wikibooks.org/wiki/Komplexe_Zahlen/_Weitere_Rechenverfahren sowie das Beispiel danach auf dieser Website)


andere Form[edit]

Danksagung[edit]

Ich danke Christoph R. für den Hinweis und die Entschlüsselung von http://www.emath.de/Mathe-Board/messages/7/14736.html?1110537571 - siehe auch f.thread:36246 ! --Mnemetz 21:26, 6. Nov 2005 (CET)


Ressourcen[edit]

Andere Beispiele[edit]

Beispiele 28 bis 39

Vorlesung[edit]


Foren[edit]


Websites[edit]