TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 481

Zeigen Sie, dass in jedem Vektorraum V über dem Körper K für alle $a\in V,\lambda \in K$ gilt:

$(-\lambda )a=-(\lambda a)$

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{{Beispiel|1=
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oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}

Lösungsansatz

Anmerkung: Ich bin nicht sicher, ob man das so machen kann. Falls jemand dafür oder dagegen ist, bitte ich um Feedback zu diesem Ansatz. mfg, W wallner

Wichtig ist der Unterschied zwischen $0_{K}$ und $0_{V}$.

$0_{K}$ bezeichnet das neutrale Element bezüglich der Addition im Körper K. Also ist $0_{K}$ ein Skalar.

$0_{v}$ ist der Nullvektor, der enthält lauter $0_{K}$.

Wenn man einen beliebigen Vektor mit $0_{K}$ multipliziert, erhält man den Nullvektor. Der Grund dafür ist, dass im K ein Körper ist. Und in Ringen (und somit auch in Körpern) ergibt die Multiplikation mit dem neutralen Element der Addition immer das neutrale Element der Addition. Der Beweis steht im Buch auf Seite 81, ungefähr in der Mitte:

$a.0=a.0$
$a.0=a.(0+0)$
$a.0=a.0+a.0$ // -(a.0)
$a.0-a.0=a.0+a.0-a.0$
$0=a.0$

Damit können wir jetzt den in der Angabe geforderten Beweis führen:

$0_{V}=0_{V}$
$a.0_{K}=0_{V}$
$a.(\lambda +(-\lambda ))=0_{V}$
$a.\lambda +a.(-\lambda )=0_{V}$
$a.\lambda -a.\lambda +a.(-\lambda ))=0_{V}-a.\lambda$
$a.(-\lambda ))=-a.\lambda$

mfg, W wallner

Lösungsvorschlag von m4rS

Hab auch ne Idee wie mans rechnen könnte u genauso keine Ahnung obs so stimmt ;) (bzw egentlich würd ichs eh genauso rechnen wie oben) Wichtig ist auch die Def 3.2 im Buch mMn

$Also\lambda liegtinK,dahergibtseinInverses=-\lambda (bzw--\lambda =+\lambda inverszu-\lambda$
$JetztaddiereichaufbeidenSeiten-\lambda *a,kommt(-lambda)*a+(--lambda*a)=0raus$

Daher ist (-lambda*a) auch das Inverse zu (-lambda)*a u da es in jeder Gruppe usw nur ein Inverses zu jedem Element geben kann, folgt daraus, dass die beiden ident sind

Lösungsvorschlag von neo

Ich hätte es so gemacht:
Da $a\in V$ ist und damit einen Vektor repräsentiert ist $a={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\.\\.\\.\\a_{n}\end{pmatrix}}$
Nun kann man das ganze umformen:

$(-\lambda )a=(-\lambda ){\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\.\\.\\.\\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\lambda a_{1}\\-\lambda a_{2}\\-\lambda a_{3}\\.\\.\\.\\-\lambda a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(-1)\lambda a_{1}\\(-1)\lambda a_{2}\\(-1)\lambda a_{3}\\.\\.\\.\\(-1)\lambda a_{n}\end{pmatrix}}=(-1)(\lambda a)=-(\lambda a)$
$\Box$

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 18:58, 24. Feb. 2026 (CET)

Zeigen Sie, dass in jedem Vektorraum $V$ über dem Körper $\mathbb {K}$ für alle ${\vec {a}}\in V,\lambda \in \mathbb {K}$ gilt: $(-\lambda )\cdot {\vec {a}}=-(\lambda \cdot {\vec {a}})$

Anmerkung: In diesen Beweisen unterscheide ich zwischen $0$ des Körpers $0_{K}\in \mathbb {K}$ und dem Nullvektor $0_{V}\in V$.

Beweis: $0_{K}\cdot {\vec {a}}={\vec {0_{V}}},\,{\vec {a}},\,{\vec {0_{V}}}\in V,0_{K}\in \mathbb {K}$:

Aus $(0_{K}+0_{K})=0_{K}$ folgt:

$(0_{K}+0_{K})\cdot {\vec {a}}=(0_{K})\cdot {\vec {a}}$.

Das DG besagt: $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {a}}=(\lambda \cdot {\vec {a}})+(\mu \cdot {\vec {a}})$:

Ausgehend vom DG folgt:

$(0_{K}+0_{K})\cdot {\vec {a}}=(0_{K}\cdot {\vec {a}})+(0_{K}\cdot {\vec {a}})$.

Also gilt:

$(0_{K}+0_{K})\cdot {\vec {a}}=(0_{K}\cdot {\vec {a}})$ und $(0_{K}+0_{K})\cdot {\vec {a}}=(0_{K}\cdot {\vec {a}})+(0_{K}\cdot {\vec {a}})$.

Setzt man die beiden rechten Seiten gleich, folgt:

$(0_{K}\cdot {\vec {a}})=(0_{K}\cdot {\vec {a}})+(0_{K}\cdot {\vec {a}})$.

Addieren wir auf beiden Seiten das additiv Inverse von $(0_{K}\cdot {\vec {a}})$, so folgt:

$(0_{K}\cdot {\vec {a}})+(-(0_{K}\cdot {\vec {a}}))=(0_{K}\cdot {\vec {a}})+(0_{K}\cdot {\vec {a}})+(-(0_{K}\cdot {\vec {a}}))\implies {\color {green}{\vec {0_{V}}}=(0_{K}\cdot {\vec {a}})}$.

Beweis: $(-{\vec {a}})=(-1)\cdot {\vec {a}},\,{\vec {a}},\,{\vec {0_{V}}}\in V,0_{K}\in \mathbb {K}$:

Da $1+(-1)=0_{K}$, folgt durch Multiplikation mit ${\vec {a}}$:

$(1+(-1))\cdot {\vec {a}}=0_{K}\cdot {\vec {a}}={\vec {0_{V}}}$ - nach obigen Beweis: $0_{K}\cdot {\vec {a}}={\vec {0_{V}}}$.

Das DG besagt: $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {a}}=(\lambda \cdot {\vec {a}})+(\mu \cdot {\vec {a}})$:

Nach dem DG folgt:

$(1+(-1))\cdot {\vec {a}}=1\cdot {\vec {a}}+(-1)\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}+(-1)\cdot {\vec {a}}$.

Setzen wir diese beiden Gleichungen gleich, erhalten wir:

$(1+(-1))\cdot {\vec {a}}={\color {blue}{\vec {0_{V}}}}$ und $(1+(-1))\cdot {\vec {a}}{\,=\color {blue}{\vec {a}}+(-1)\cdot {\vec {a}}}$.

Per Definition ist $(-{\vec {a}})$ das additive Inverse von ${\vec {a}}$, also ${\color {blue}{\vec {a}}+(-{\vec {a}})={\vec {0_{V}}}}$.

Das additive Inverse von ${\vec {a}}$ ist eindeutig bestimmt. Damit muss folgen:

${\vec {a}}+(-{\vec {a}})={\vec {0_{V}}}$ und ${\vec {a}}+(-1)\cdot {\vec {a}}={\vec {0_{V}}}\implies {\color {green}(-{\vec {a}})=(-1)\cdot {\vec {a}}}$.

Beweis: $(-\lambda )\cdot {\vec {a}}=-(\lambda \cdot {\vec {a}})$ Da der Ausdruck $-(\lambda \cdot {\vec {a}})\in V$, folgt nach dem oberen Beweis

$(-{\vec {a}})=(-1)\cdot {\vec {a}}\colon \,-(\lambda \cdot {\vec {a}})=(-1)\cdot (\lambda \cdot {\vec {a}})$.

Nach dem Assoziativgesetz und der Multiplikation im Körper $((-1)\cdot \lambda )=-(\lambda )$ folgt:

$=(-1)\cdot (\lambda \cdot {\vec {a}})=((-1)\cdot \lambda )\cdot {\vec {a}}=(-\lambda )\cdot {\vec {a}}$. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum

Ähnliche Beispiele:

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• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_483

Link auf PDF-Datei mit Lösungen von Beispielen:

• Datei:Mathe1-sol.pdf