TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS08/Beispiel 361

Zeigen Sie, daß $B=\{(1,2,4),(2,4,1),(4,2,1)\}$ eine Basis des ${ℝ}^3$ ist.

Hilfreiches

Basis

Basis

Eine Basis $B=\{\overrightarrow{b_1},\overrightarrow{b_2},\dots ,\overrightarrow{b_n}\}$ ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Vektorraumes mit $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in$ Vektorraum: $\mathrm{\exists }{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in K$ ($K$ Körper): $\overrightarrow{x}={\lambda }_1\overrightarrow{b_1}+{\lambda }_2\overrightarrow{b_2}+\cdots +{\lambda }_n\overrightarrow{b_n},$(${\lambda }_i$ eindeutig bestimmt).

Lineare Abhängigkeit

Eine Menge $M$ an Vektoren $\{\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}\}$ heißt linear abhängig, wenn gilt:

$\mathrm{\exists }\overrightarrow{l}=({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)\ne \overrightarrow{0_n},{\lambda }_i\in 𝕂$ mit ${\lambda }_1\cdot \overrightarrow{x_1}+{\lambda }_2\cdot \overrightarrow{x_2}+\dots +{\lambda }_n\cdot \overrightarrow{x_n}=\overrightarrow{0}$.

Es existiert eine Linearkombination aus der Menge $M$, die den Nullvektor $\overrightarrow{0_n}$ ergibt, wobei nicht alle ${\lambda }_i=0$ sind - eine oder mehrere sogenannte nicht triviale Lösungen existieren.

Eingefügt von Hochi

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