TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 360

Sei $V={ℂ}^3$, $U=\{(z_1,z_2,z_3)\in V|z_1=2z_2=3z_3\}$, $W=\{(z_1,z_2,z_3)\in V|z_2=0\}$. Zeigen Sie, daß $U$ und $W$ Teilräume von $V$ sind und bestimmen Sie deren Dimension.

Hilfreiches

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $⟨U,+,K⟩$ ein Vektorraum, $U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\ne \varnothing$
• $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in U⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• $\overrightarrow{x}\in U,\lambda \in K⟹\lambda \overrightarrow{x}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösung von Baccus

(wurde vom UE-Leiter so ähnlich vorgerechnet) für die lösung des WS08 siehe unten

Zeige Unterraumkriterien für U:

• U ist nicht leer: Gegenbeispiel $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\in U\surd$
• Additivität:

Sei $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_1/2\\ x_1/3\end{array}\right)$, $\overrightarrow{y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_1/2\\ y_1/3\end{array}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_1/2\\ x_1/3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_1/2\\ y_1/3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& +y_1\\ x_1/2& +y_1/2\\ x_1/3& +y_1/3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1+y_1\\ \frac{1}{2}{x}_1+y_1\\ \frac{1}{3}{x}_1+y_1\end{array}\right)\in U\surd$

• Homogenität:

$\lambda \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}\lambda x_1\\ \lambda x_1/2\\ \lambda x_1/3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda x_1\\ \frac{1}{2}\lambda x_1\\ \frac{1}{3}\lambda x_1\end{array}\right)\in U\surd$

$⟹U$ ist Unterraum von $V$.

Zeige Unterraumkriterien für W:

• W ist nicht leer: Gegenbeispiel $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\in W\surd$
• Additivität:

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ 0\\ x_3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ 0\\ y_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1+y_1\\ 0\\ x_3+y_3\end{array}\right)\in W\surd$

• Homogenität:

$\lambda \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}\lambda x_1\\ 0\\ \lambda x_3\end{array}\right)=\in W\surd$

$⟹W$ ist Unterraum von $V$.

Dimension von U

Die Basis von $U$ ist z.B. $\left(\begin{array}{c}1\\ 1/2\\ 1/3\end{array}\right)$; der gesamte Teilraum $U\subset {ℂ}^3$ kann also von $\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ 1/2\\ 1/3\end{array}\right)$ erzeugt werden, hängt also nur von einer Variable ab $⟹\dim U=1$.

Dimension von W

Die kanonische Basis von $W$ ist $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$; der gesamte Teilraum $W$ kann also von $\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ erzeugt werden, hängt also von zwei Variablen ab $⟹\dim W=2$.

Baccus 01:56, 19. Jan 2007 (CET)

Lösung von P0rt0s

// add WS08 von p0rt0s

Der Beweis, dass U und W Teilmengen von V sind ist auf die gleiche Art und Weise von oben zu lösen. Geringfügige Änderung in der Angabe: werde nur die Lösung für den zweiten Teil der Aufgabe geben, man nimmt von hier aus an, dass U und W Teilräume von V sind.

Dimension von U

Die Basis von $U$ ist z.B. $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$; der gesamte Teilraum $U\subset {ℂ}^3$ kann also von $a\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)+(a+b)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ erzeugt werden, hängt also von zwei Variablen ab $⟹\dim U=2$.

Dimension von W

Die Basis von $W$ ist z.B. $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$; der gesamte Teilraum $U\subset {ℂ}^3$ kann also von $a\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ erzeugt werden, hängt also von zwei Variablen ab $⟹\dim U=2$.

P0rt0s 11:28, 14. Jän 2008 (CET)

Links

• Diskussion im UE-Forum

Wikipedia:

• Vektorraum
• Teilraum, Unterraum
• Körper
• Dimension
• Abgeschlossenheit
• Basis

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