TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 360

Sei $V=\mathbb {C} ^{3}$ , $U=\{(z_{1},z_{2},z_{3})\in V|z_{1}=2z_{2}=3z_{3}\}$ , $W=\{(z_{1},z_{2},z_{3})\in V|z_{2}=0\}$ . Zeigen Sie, daß $U$ und $W$ Teilräume von $V$ sind und bestimmen Sie deren Dimension.

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösung von Baccus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(wurde vom UE-Leiter so ähnlich vorgerechnet) für die lösung des WS08 siehe unten

Zeige Unterraumkriterien für U:[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

U ist nicht leer: Gegenbeispiel ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\in U\quad \surd$
Additivität:

Sei

{\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{1}/2\\x_{1}/3\end{pmatrix}}

,

{\overrightarrow {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{1}/2\\y_{1}/3\end{pmatrix}}

\Rightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{1}/2\\x_{1}/3\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{1}/2\\y_{1}/3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&+y_{1}\\x_{1}/2&+y_{1}/2\\x_{1}/3&+y_{1}/3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\{\frac {1}{2}}x_{1}+y_{1}\\{\frac {1}{3}}x_{1}+y_{1}\end{pmatrix}}\in U\quad \surd

Homogenität:

\lambda {\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}\lambda x_{1}\\\lambda x_{1}/2\\\lambda x_{1}/3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda x_{1}\\{\frac {1}{2}}\lambda x_{1}\\{\frac {1}{3}}\lambda x_{1}\end{pmatrix}}\in U\quad \surd

$\Longrightarrow \quad U$ ist Unterraum von $V$ .

Zeige Unterraumkriterien für W:[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

W ist nicht leer: Gegenbeispiel ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\in W\quad \surd$
Additivität:

{\begin{pmatrix}x_{1}\\0\\x_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\0\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\0\\x_{3}+y_{3}\end{pmatrix}}\in W\quad \surd

Homogenität:

\lambda {\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}\lambda x_{1}\\0\\\lambda x_{3}\end{pmatrix}}=\in W\quad \surd

$\Longrightarrow \quad W$ ist Unterraum von $V$ .

Dimension von U[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Basis von $U$ ist z.B. ${\begin{pmatrix}1\\1/2\\1/3\end{pmatrix}}$ ; der gesamte Teilraum $U\subset \mathbb {C} ^{3}$ kann also von $\lambda {\begin{pmatrix}1\\1/2\\1/3\end{pmatrix}}$ erzeugt werden, hängt also nur von einer Variable ab $\Longrightarrow \dim U=1$ .

Dimension von W[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kanonische Basis von $W$ ist ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ ; der gesamte Teilraum $W$ kann also von $\lambda {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ erzeugt werden, hängt also von zwei Variablen ab $\Longrightarrow \dim W=2$ .

Baccus 01:56, 19. Jan 2007 (CET)

Lösung von P0rt0s[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

// add WS08 von p0rt0s

Der Beweis, dass U und W Teilmengen von V sind ist auf die gleiche Art und Weise von oben zu lösen. Geringfügige Änderung in der Angabe: werde nur die Lösung für den zweiten Teil der Aufgabe geben, man nimmt von hier aus an, dass U und W Teilräume von V sind.

Dimension von U[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Basis von $U$ ist z.B. ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ ; der gesamte Teilraum $U\subset \mathbb {C} ^{3}$ kann also von $a{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+(a+b){\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ erzeugt werden, hängt also von zwei Variablen ab $\Longrightarrow \dim U=2$ .

Dimension von W[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Basis von $W$ ist z.B. ${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ ; der gesamte Teilraum $U\subset \mathbb {C} ^{3}$ kann also von $a{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ erzeugt werden, hängt also von zwei Variablen ab $\Longrightarrow \dim U=2$ .