(Am 10.11. gründlich überarbeitet - sollte eigentlich so eine "Referatsvorlage" sein) :-) --Mnemetz 13:04, 10. Nov 2005 (CET)
Fundamentalsatz der Algebra
Gemäß dem Fundamentalsatz der Algebra hat eine Gleichung n-ten Grades mit Koeeffizienten in
n verschiedene Lösungen in
.
Unsere gegebene Gleichung ist zweiten Grades, daher sind zwei Lösungen zu erwarten.
Isolierung der Koeffizienten
Die gegebene quadratische Gleichung
stellen wir allgemeiner wie folgt dar:
a,b,c sind die Koeffizienten, und zwar:
Lösungen errechnen
Allgemeine Lösungsformel f. quadratische Gleichungen
Betrachtung der Diskriminante
Die Diskriminante (D) ist
. Je nach Wert dr Diskriminante kann man feststellen, wieviele Lösungen es gibt sowie ob sie in
oder
zu erwarten sind.
Wenn gilt:
- D > 0
verschiedene reelle Lösungen
- D = 0
genau eine Lösung
- D < 0
keine reelle Lösung
Unsere Diskriminante beträgt -16, daher werden wir zwei komplexe Lösungen erwarten!
Berechnung der Lösung
Umrechnung in die Polarform
Die Polarform ist definiert durch:
Zuordnung der einzelnen Bestandteile:
Wobei
Berechnung von r
- r ist der Betrag von z und ergibt sich aus der Formel
für rechtwinkelige Dreiecke
![{\displaystyle r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {8}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a975f792f25fcec5d99c0307cba152aa&mode=mathml)
Berechnung der Winkel
Berechnung von
und
Zur Orientierung und Vermeidung einer falschen Winkelannahme empfiehlt es sich, eine Skizze anzufertigen, aus der man in etwa die Lösungen entnehmen kann:
Allein schon diese Skizze sollte eventuelle irrige Winkelannahmen verhüten (z.B. 45°).
Regeln für arctan:
![{\displaystyle {}={\begin{cases}\arccos {\frac {a}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ b\geq 0\\\arccos \left(-{\frac {a}{r}}\right)-\pi &\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ b<0\end{cases}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1473d3c3f6881b7212b8904eb7cf086d&mode=mathml)
Unser a ist -2, also kleiner als Null. b kann zwei Werte annehmen, 2 oder -2 - daher müssen wir folgende Regeln anwenden:
bezieht sich auf
- Zu berücksichtigen ist also die Regel für a < 0, b
0
![{\displaystyle \arctan {\frac {-2}{2}}+\pi =-45^{\circ }+180^{\circ }=135^{\circ }}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e454563a9c571d28efba80bffda0e94e&mode=mathml)
entspricht 180°,
entsprechen 360°
bezieht sich auf
- Zu berücksichtigen ist also die Regel für a < 0, b
0
![{\displaystyle \arctan {\frac {-2}{-2}}-\pi =45^{\circ }-180^{\circ }=-135^{\circ }}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3657a918b55807cf42bea0a31cd8f411&mode=mathml)
Somit erhalten wir die zwei Lösungen in der Polarform:
Und da ich bei
dazu addieren kann (entspricht 360°) erhalte ich als Winkel 225° und
Zuerst wurden die Polarkoordinaten in Grad angegeben, danach in Bogenmaß. Die Umrechnungsformeln sind:
![{\displaystyle {\rm {Winkel}}_{\rm {Bogenmass}}={\frac {{\rm {Winkel}}_{\rm {Grad}}\cdot \pi }{180}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c4dbe8ad2a291bdfcb93a10b458c52ae&mode=mathml)
![{\displaystyle {\rm {Winkel}}_{\rm {Grad}}={\frac {{\rm {Winkel}}_{\rm {Bogenmass}}\cdot 180}{\pi }}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=90d477dc13666e6a65a48d0e9a5a2aba&mode=mathml)
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