TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS08/Beispiel 419

Angabe

Man berechne

${\begin{vmatrix}0&10&3&7\\4&1&-6&-8\\3&3&-2&5\\1&-4&7&12\end{vmatrix}}$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Erster Schritt: Matrix analysieren

${\begin{vmatrix}{\mathit {0}}&10&3&7\\4&1&-6&-8\\3&3&-2&5\\\mathbf {1} &-4&7&12\end{vmatrix}}$

Zuerst analysieren wir die Matrix ein wenig:

1. Auf $a_{1,1}$ steht eine 0 - die müssen wir wegkriegen. Dort darf keine Null stehen!
2. Auf $a_{4,1}$ steht eine 1 - der Zeilentausch 1-4 bietet sich also an!

Bemerkung (onu): Also ich habe noch keinen Hinweis gefunden das bei der Bestimmung der Determinante das Element a11 nicht 0 sein darf?! Hab nachgerechnet, man kann die Entwicklung einfach nach der ersten Spalte machen und (so wie du in der Lösung) Zeile 2&3 eliminieren. Das ergibt sogar nur "(-1)*Unterdeterminante". Beinahe einfacher :)

Zweiter Schritt: Zeilentausch 1-4

Wir tauschen nun die Zeilen 1 und 4 und dürfen nicht vergessen, der neuen 4. Zeile einen Vorzeichenwechsel angedeihen zu lassen!

${\begin{vmatrix}0&10&3&7\\4&1&-6&-8\\3&3&-2&5\\1&-4&7&12\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&-4&7&12\\4&1&-6&-8\\3&3&-2&5\\0&-10&-3&-7\end{vmatrix}}$

Dritter Schritt: Spalte eins, Nuller vervollständigen

Zweite Zeile

Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt: $2.{\text{ Zeile }}-4*(1.{\text{ Zeile }})=2.{\text{ Zeile}}_{neu}$

  4-4*1     1-(-4)*4     -6-4*7    -8-4*12

Dritte Zeile

Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt: $3.{\text{ Zeile }}-3*(1.{\text{ Zeile }})=3.{\text{ Zeile}}_{neu}$

  3-3*1     3-(-4)*3    -2-7*3     5-3*12

Zusammenfassung, Vereinfachung (Wegfall 1. Zeile)

${\begin{vmatrix}0&10&3&7\\4&1&-6&-8\\3&3&-2&5\\1&-4&7&12\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&-4&7&12\\4&1&-6&-8\\3&3&-2&5\\0&-10&-3&-7\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&-4&7&12\\0&17&-34&-56\\0&15&-23&-31\\0&-10&-3&-7\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}17&-34&-56\\15&-23&-31\\-10&-3&-7\end{vmatrix}}$

Vierter Schritt: 17 herausheben

Um auf $a_{1,1}$ 1 zu erhalten, heben wir in der ersten Zeile 17 heraus!

${\begin{vmatrix}0&10&3&7\\4&1&-6&-8\\3&3&-2&5\\1&-4&7&12\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&-4&7&12\\4&1&-6&-8\\3&3&-2&5\\0&-10&-3&-7\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&-4&7&12\\0&17&-34&-56\\0&15&-23&-31\\0&-10&-3&-7\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}17&-34&-56\\15&-23&-31\\-10&-3&-7\end{vmatrix}}=17*{\begin{vmatrix}1&-2&{\frac {-56}{17}}\\15&-23&-31\\-10&-3&-7\end{vmatrix}}$

Fünfter Schritt: Reduktion auf 2x2 Matrix

Zweite Zeile

Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt: $2.{\text{ Zeile }}-15*(1.{\text{ Zeile }})=2.{\text{ Zeile}}_{neu}$

  0     -23-(-2)*15     -31 - ${\frac {-56*15}{17}}$

Dritte Zeile

Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt: $3.{\text{ Zeile }}+10*(1.{\text{ Zeile }})=3.{\text{ Zeile}}_{neu}$

  0     -3+10*(-2)     -7+${\frac {-56*10}{17}}$

Zusammenfassung, Vereinfachung (Wegfall 1. Zeile)

${\begin{vmatrix}0&10&3&7\\4&1&-6&-8\\3&3&-2&5\\1&-4&7&12\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&-4&7&12\\4&1&-6&-8\\3&3&-2&5\\0&-10&-3&-7\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&-4&7&12\\0&17&-34&-56\\0&15&-23&-31\\0&-10&-3&-7\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}17&-34&-56\\15&-23&-31\\-10&-3&-7\end{vmatrix}}=17*{\begin{vmatrix}1&-2&{\frac {-56}{17}}\\15&-23&-31\\-10&-3&-7\end{vmatrix}}$

$=17*{\begin{vmatrix}1&-2&{\frac {-56}{17}}\\0&7&{\frac {313}{17}}\\0&-23&{\frac {-679}{17}}\end{vmatrix}}=17*{\begin{vmatrix}7&{\frac {313}{17}}\\-23&{\frac {-679}{17}}\end{vmatrix}}$

Abschlussrechnung, Zusammenfassung, Ergebnis

${\begin{vmatrix}0&10&3&7\\4&1&-6&-8\\3&3&-2&5\\1&-4&7&12\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&-4&7&12\\4&1&-6&-8\\3&3&-2&5\\0&-10&-3&-7\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&-4&7&12\\0&17&-34&-56\\0&15&-23&-31\\0&-10&-3&-7\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}17&-34&-56\\15&-23&-31\\-10&-3&-7\end{vmatrix}}=17*{\begin{vmatrix}1&-2&{\frac {-56}{17}}\\15&-23&-31\\-10&-3&-7\end{vmatrix}}$

$=17*{\begin{vmatrix}1&-2&{\frac {-56}{17}}\\0&7&{\frac {313}{17}}\\0&-23&{\frac {-679}{17}}\end{vmatrix}}=17*{\begin{vmatrix}7&{\frac {313}{17}}\\-23&{\frac {-679}{17}}\end{vmatrix}}=17*(7*{\frac {-679}{17}}+23*{\frac {313}{17}})=23*313-7*679={\mathit {2446}}$

Lösungsvorschlag von eaglo

ziel definieren

${\begin{vmatrix}{\mathit {0}}&10&3&7\\4&1&-6&-8\\3&3&-2&5\\\mathbf {1} &-4&7&12\end{vmatrix}}$

• matrix auf mindestens 3x3 reduzieren (dann kann sie schon berechnet werden)

=> hier bietet sich die 1. spalte und die 4. zeile an (a11 ist bereits 0 wodurch wir eine zeile weniger bearbeiten müssen) das element a41 ist 1, der einfachheit halber nehmen wir dieses element als ausgangsbasis. weiteres ziel: a21 u. a31 zu 0 machen, dies geschieht durch multiplizieren der 4 zeile und anschließendes addieren bzw. subtrahieren von der jeweiligen zeile

0en erzeugen

zeile 2

wir wollen für das element a21 den wert 0 bekommen somit müssen wir zeile 4 mit 4 multiplizieren und anschließen von zeile 2 abziehen. $2.{\text{ Zeile }}-4*4.{\text{ Zeile }}=2.{\text{ Zeile}}_{neu}$

  a21_{neu} = a21 - 4 * a41 = 4 - 4 * 1 = 0
  a22_{neu} = a22 - 4 * a42 = 1 - 4 * (-4) = 17
  usw. ...

${\begin{vmatrix}0&10&3&7\\0&17&-34&-56\\3&3&-2&5\\1&-4&7&12\end{vmatrix}}$

zeile 3

analog zu zeile 2: $2.{\text{ Zeile }}-3*4.{\text{ Zeile }}=2.{\text{ Zeile}}_{neu}$

  a31_{neu} = a31 - 3 * a41 = 3 - 3 * 1 = 0
  a32_{neu} = a32 - 3 * a42 = 3 - 3 * (-4) = 15
  usw. ...

${\begin{vmatrix}0&10&3&7\\0&17&-34&-56\\0&15&-23&-31\\1&-4&7&12\end{vmatrix}}$

zeile 4 streichen

die 1. spalte haben wir nun eliminiert, jetzt a41 herausheben (auf vorzeichen achten) und wir können schon die 4. zeile streichen

das ergibt:

$(-1)*{\begin{vmatrix}10&3&7\\17&-34&-56\\15&-23&-31\end{vmatrix}}$

jetzt nur noch die determinante berechnen ...

determinante berechnen

die determinante einer 3x3 matrize wird wie folgt berechnet:

   D =  a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32
        - a13 * a22 * a31 - a11 * a23 * a32 - a12 * a21 * a33

in unserem fall also:

   D = (-1) * { [ 10 * (-34) * (-31) ] + [ 3 * (-56) * 15 ] + [ 7 * 17 * (-23) ] 
              - [ 7 * (-34) * 15 ] - [ 3 * 17 * (-31) ] - [ 10 * (-56) * (-23) ]  }

   D = (-1) * { 10540 - 2520 - 2737 
              + 3570 + 1581 - 12880 }

   D = (-1) * (-2446) = 2446

tada ... fertig :)

Anhang von mnemetz: Matlab und Matrizen

Mit Matlab kann man sehr einfach die Determinanten von Matrizen berechnen - ich habe Matlab bei diesem Beispiel als begleitende Kontrolle verwendet. Beispiel:

Eingabe der Matrix

  >> A = [0 10 3 7; 4 1 -6 -8; 3 3 -2 5; 1 -4 7 12]
  A =
    0    10     3     7
    4     1    -6    -8
    3     3    -2     5
    1    -4     7    12

Berechnung der Determinante

  >> det(A)
    2446

Ressourcen

Literatur

• Baron/Kirschenhofer, Einführung in die Mathematik für Informatiker, Band 1, 1989, 2.Aufl., S. 77ff.
• Gröber, Matrizenrechnung, Hochschultaschenbücher 130, Mannheim 1966
• Meyberg/Vachenauer, Höhere Mathematik 1, Springer 1989, 250ff.
• Preuß/Wenisch, Lehr- und Übungsbuch numerische Mathematik, Hanser 2001, 63ff.
• Rießinger, Mathematik für Ingenieure, Springer 2001, 473ff.
• Skriptum S. 77ff.

Web

• https://web.archive.org/web/20180817162337/http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/determinanten.htm
• http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_%28Mathematik%29
• http://de.wikipedia.org/wiki/Matrix_%28Mathematik%29
• https://web.archive.org/web/20180817162339/http://www.mathematik.net/determinanten/22.htm
• https://web.archive.org/web/20180817162342/https://matheplanet.com/default3.html?call=article.php%3fsid=383