TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS08/Beispiel 419

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kopiert von TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 409[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man berechne


Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erster Schritt: Matrix analysieren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zuerst analysieren wir die Matrix ein wenig:

  1. Auf steht eine 0 - die müssen wir wegkriegen. Dort darf keine Null stehen!
  2. Auf steht eine 1 - der Zeilentausch 1-4 bietet sich also an!

Bemerkung (onu): Also ich habe noch keinen Hinweis gefunden das bei der Bestimmung der Determinante das Element a11 nicht 0 sein darf?! Hab nachgerechnet, man kann die Entwicklung einfach nach der ersten Spalte machen und (so wie du in der Lösung) Zeile 2&3 eliminieren. Das ergibt sogar nur "(-1)*Unterdeterminante". Beinahe einfacher :)

Zweiter Schritt: Zeilentausch 1-4[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir tauschen nun die Zeilen 1 und 4 und dürfen nicht vergessen, der neuen 4. Zeile einen Vorzeichenwechsel angedeihen zu lassen!


Dritter Schritt: Spalte eins, Nuller vervollständigen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zweite Zeile[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt:

  4-4*1     1-(-4)*4     -6-4*7    -8-4*12


Dritte Zeile[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt:

  3-3*1     3-(-4)*3    -2-7*3     5-3*12


Zusammenfassung, Vereinfachung (Wegfall 1. Zeile)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Vierter Schritt: 17 herausheben[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um auf 1 zu erhalten, heben wir in der ersten Zeile 17 heraus!


Fünfter Schritt: Reduktion auf 2x2 Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zweite Zeile[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt:

  0     -23-(-2)*15     -31 - 


Dritte Zeile[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt:

  0     -3+10*(-2)     -7+


Zusammenfassung, Vereinfachung (Wegfall 1. Zeile)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Abschlussrechnung, Zusammenfassung, Ergebnis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Lösungsvorschlag von eaglo[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ziel definieren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


  • matrix auf mindestens 3x3 reduzieren (dann kann sie schon berechnet werden)

=> hier bietet sich die 1. spalte und die 4. zeile an (a11 ist bereits 0 wodurch wir eine zeile weniger bearbeiten müssen) das element a41 ist 1, der einfachheit halber nehmen wir dieses element als ausgangsbasis. weiteres ziel: a21 u. a31 zu 0 machen, dies geschieht durch multiplizieren der 4 zeile und anschließendes addieren bzw. subtrahieren von der jeweiligen zeile

0en erzeugen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

zeile 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

wir wollen für das element a21 den wert 0 bekommen somit müssen wir zeile 4 mit 4 multiplizieren und anschließen von zeile 2 abziehen.

  a21_{neu} = a21 - 4 * a41 = 4 - 4 * 1 = 0
  a22_{neu} = a22 - 4 * a42 = 1 - 4 * (-4) = 17
  usw. ...

zeile 3[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

analog zu zeile 2:

  a31_{neu} = a31 - 3 * a41 = 3 - 3 * 1 = 0
  a32_{neu} = a32 - 3 * a42 = 3 - 3 * (-4) = 15
  usw. ...

zeile 4 streichen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

die 1. spalte haben wir nun eliminiert, jetzt a41 herausheben (auf vorzeichen achten) und wir können schon die 4. zeile streichen

das ergibt:

jetzt nur noch die determinante berechnen ...

determinante berechnen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

die determinante einer 3x3 matrize wird wie folgt berechnet:

   D =  a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32
        - a13 * a22 * a31 - a11 * a23 * a32 - a12 * a21 * a33

in unserem fall also:

   D = (-1) * { [ 10 * (-34) * (-31) ] + [ 3 * (-56) * 15 ] + [ 7 * 17 * (-23) ] 
              - [ 7 * (-34) * 15 ] - [ 3 * 17 * (-31) ] - [ 10 * (-56) * (-23) ]  }
   D = (-1) * { 10540 - 2520 - 2737 
              + 3570 + 1581 - 12880 }
   D = (-1) * (-2446) = 2446

tada ... fertig :)

Anhang von mnemetz: Matlab und Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Matlab kann man sehr einfach die Determinanten von Matrizen berechnen - ich habe Matlab bei diesem Beispiel als begleitende Kontrolle verwendet. Beispiel:

Eingabe der Matrix

  >> A = [0 10 3 7; 4 1 -6 -8; 3 3 -2 5; 1 -4 7 12]
  A =
    0    10     3     7
    4     1    -6    -8
    3     3    -2     5
    1    -4     7    12

Berechnung der Determinante

  >> det(A)
    2446


Ressourcen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Baron/Kirschenhofer, Einführung in die Mathematik für Informatiker, Band 1, 1989, 2.Aufl., S. 77ff.
  • Gröber, Matrizenrechnung, Hochschultaschenbücher 130, Mannheim 1966
  • Meyberg/Vachenauer, Höhere Mathematik 1, Springer 1989, 250ff.
  • Preuß/Wenisch, Lehr- und Übungsbuch numerische Mathematik, Hanser 2001, 63ff.
  • Rießinger, Mathematik für Ingenieure, Springer 2001, 473ff.
  • Skriptum S. 77ff.

Web[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]