TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 122

Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen $R\subseteq A\times B$ um Funktionen, injektive Funktionen, surjektive Funktionen bzw. bijektive Funktionen handelt.

$R=\left\lbrace \left(x^{2},{\frac {1}{x^{2}}}\right)\ |\ x\in \mathbb {R} ^{+}\right\rbrace ,A=B=\mathbb {R}$

Hilfreiches

Funktion

Funktion

Eine Funktion oder Abbildung $f:A\to B$ von $A$ nach $B$ ist eine Relation $R_{f}\subseteq A\times B$ mit der Eigenschaft, dass zu jedem $a\in A$ genau ein $b\in B$ mit $aR_{f}b$ existiert. Man schreibt dafür $b=f(a)$. Der Graph einer Funktion $f:A\to B$ ist die Menge $\{(a,f(a))|a\in A\}\subseteq A\times B$.

Lösungsvorschlag

Damit die Relation eine Funktion ist, muss jedem $a\in A$ genau ein $b\in B$ zugeordnet sein.

Lt. Angabe kann das x aber nur positiv sein, der Definitionsbereich A ist aber ganz $\mathbb {R}$. Daher können den Elmenten aus $\mathbb {R} _{0}^{-}$ keine Werte zugeordnet sein.

$\Rightarrow$ Die Relation kann keine Funktion sein

Somit erübrigt sich auch die Frage, ob es injektiv/ surjektiv/ bijektiv ist.

Damit die Relation eine Funktion ist, müsste man $A=\mathbb {R} ^{+}$ definieren, oder man erlaubt, dass $x\in \mathbb {R}$

Alle die es interssiert, wie es sich mit der Relation verhält, wenn $A=B=\mathbb {R} ^{+}$, sein auf dieses Beispiel verwiesen.

Anmerkung

Das Beispiel wurde hier schon in den vorhergehenden Semestern behandelt.