TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 182

Berechnen Sie unter Benützung des Binomischen Lehrsatzes (und ohne Benützung der Differentialrechnung):

$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}k4^{k}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient

$\forall n,k\in \mathbb {N} ,k\leq n:\qquad {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

Äquivalente Definition (Merkregel): ${\binom {n}{k}}={\frac {\overbrace {n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots (n-k+1)} ^{k\;{\text{Glieder}}}}{\underbrace {1\cdot 2\cdots k} _{k\;{\text{Glieder}}}}}$ Spezialfall: ${\tbinom {n}{0}}:=1$

Binomischer Lehrsatz

Binomischer Lehrsatz

Für $n\geq 0$ und beliebige $x,y\in \mathbb {C}$: $\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}=(x+y)^{n}$

Lösung

Der Term muss so umgewandelt werden, dass der Binomische Lehrsatz angewendet werden kann.

$\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}4^{k}=\underbrace {0{\binom {n}{0}}4^{0}} _{=0}+\sum _{k=1}^{n}k{\binom {n}{k}}4^{k}=\sum _{k=1}^{n}k{\binom {n}{k}}4^{k}=\ldots$

Dazu muss zuerst in einer Nebenrechnung $k$ in den Binomialkoeffizient "hineinmultipliziert" werden:

$k{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\cdot k={\frac {n\cdot (n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}=n{\frac {(n-1)!}{(k-1)!(\underbrace {n-k+1-1} _{\left(n-1\right)-\left(k-1\right)})!}}=n{\binom {n-1}{k-1}}$

Dieses Ergebnis setzen wir nun in den Term ein und durch Indexverschiebung $k=k-1$ wird daraus dann:

$\ldots =\sum _{k=1}^{n}n{\binom {n-1}{k-1}}4^{k}=n\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}4^{k}=n\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}4^{k+1}=4n\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}4^{k}$

Jetzt kann man den Binomischen Lehrsatz benutzen, in dem man $x=1$, $y=4$ und $n=n-1$ setzt:

$\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}1^{n-1-k}4^{k}=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}4^{k}=(1+4)^{n-1}$

Daher folgt jetzt unser Ergebnis:

$\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}4^{k}=\ldots =4n\underbrace {\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}4^{k}} _{=(1+4)^{n-1}}=4n(1+4)^{n-1}$

Falls jemand auch nicht gleich die Umformung verstanden hat (Regel 4 wird weiter unten erklärt) https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Binomialkoeffizient:_Rechenregeln

Allgemeine Lösung

Wenn man in der obigen Rechnung statt $4$ immer den Paramter $N$ hinschreibt, kommt man auf genau demselben Rechnenweg wie oben auf dieses allgemeinere Ergebnis:

$\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}N^{k}=N\cdot (N+1)^{n-1}n$

Das ist deshalb toll, da man dann auch gleich die Beispiele 178, 179 und 180 miterledigt hat:

178: $N=5\Rightarrow \sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}5^{k}=5\cdot (5+1)^{n-1}n$

179: $N=-1\Rightarrow \sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}(-1)^{k}=(-1)\cdot (-1+1)^{n-1}n=0$

180: $\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-k)2^{k}=n\underbrace {\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}2^{k}} _{=(1+2)^{n}}-\underbrace {\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}2^{k}} _{(N=2)}=\ldots$ $\ldots =3^{n}n-2\cdot 3^{n-1}n=n(3\cdot 3^{n-1}-2\cdot 3^{n-1})=3^{n-1}n(3-2)=3^{n-1}n$

--PurpleHaze 22:40, 16. Nov 2008 (CET)

Edit: anpassung der Beispielnummern --Friday 13:44, 31. Mai 2020 (CEST)

Links

• f.thread:16467
• Lösung mit Hilfe von WolframAlpha