TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 430

Sei $\langle R,+,*\rangle$ ein Ring. Man zeige, dass dann auch $R\times R$ mit den Operationen

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ $(a,b)*(c,d)=(a*c,b*d)$

ein Ring ist.

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Hilfreiches

(Mit $(a,b)$ ist hier das Paar gemeint, dessen erste Komponente $a$ ist, und dessen zweite Komponente $b$ ist. Wenn $R$ zum Beispiel der Ring der ganzen Zahlen ist, dann wäre das Paar $(-2,7)$ so ein $(a,b)$.)

Ring

Ring

Ein Ring $(R,+,\cdot )$ ist eine Menge $R$ mit zwei binären Operationen $+$ und $\cdot$, sodass

• $(R,+)$ eine kommutative Gruppe ist,
• $(R,\cdot )$ eine Halbgruppe ist,
• die Distributivgesetze

$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und

$(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

für alle $a,b,c\in R$ gelten.

Lösungsvorschlag von RolandU

Ist wahrscheinlich eh falsch, aber ich probiers mal..

Lösungsweg

Damit ich leichter Arbeiten kann, erschaffe ich eine neue Menge "S".

S = R x R

Unsere Problemstellung lautet nun: Ist $\langle S,+,*\rangle$ ein Ring? Gehen wir also alle Voraussetzungen für Ringe durch:

• $\langle S,+\rangle$ ist sicher eine kommutative Gruppe, da $\langle R,+\rangle$ schon eine ist und bei Operationen in R x R dieselben Regeln gelten müssen, wie in R selbst.
• $\langle S,*\rangle$ ist sicher eine Halbgruppe, da $\langle R,*\rangle$ schon eine ist.
• da in R die Distributivgesetze gelten, gelten sie auch in R x R.

Siehe Diskussion

Lösungsvorschlag von Lacce

Hab grad gesehen, dass das Beispel schon gelöst im Wiki steht: Beispiel 297

Ist echt nur stures nachrechnen - ich rechne es trotzdem mal vor..

Siehe Diskussion

Ich zeige gleich allgemeiner: Ist $\langle R,+,*\rangle$ ein Ring, $n\in \mathbb {N}$, so ist auch $\langle R^{n},+,*\rangle$ einer mit den Operationen:

$(a_{1},\dots ,a_{n})+(b_{1},\dots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots ,a_{n}+b_{n})$

$(a_{1},\dots ,a_{n})*(b_{1},\dots ,b_{n})=(a_{1}*b_{1},\dots ,a_{n}*b_{n})$

Additive Gruppe $\langle R^{n},+\rangle$

Abgeschlossenheit

$a_{i},b_{i}\in R\Rightarrow a_{i}+b_{i}\in R$ für alle $1\leq i\leq n$

Assoziativität

$((a_{1},\dots ,a_{n})+(b_{1},\dots ,b_{n}))+(c_{1},\dots ,c_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots ,a_{n}+b_{n})+(c_{1},\dots ,c_{n})=((a_{1}+b_{1})+c_{1},\dots ,(a_{n}+b_{n})+c_{n})=$

$(a_{1}+(b_{1}+c_{1}),\dots ,a_{n}+(b_{n}+c_{n}))=(a_{1},\dots ,a_{n})+(b_{1}+c_{1},\dots ,b_{n}+c_{n})=(a_{1},\dots ,a_{n})+((b_{1},\dots ,b_{n})+(c_{1},\dots ,c_{n}))$

Einheitselement

Sei nun $0$ das Einheitselement von $\langle R,+\rangle$. Es ist $(0,\dots ,0)$ Einheitselement von $\langle R^{n},+\rangle$.

$(a_{1},\dots ,a_{n})+(0,\dots ,0)=(a_{1}+0,\dots ,a_{n}+0)=(a_{1},\dots ,a_{n})$

Inverse Elemente

$-(a_{1},\dots ,a_{n})=(-a_{1},\dots ,-a_{n})$, denn:

$(a_{1},\dots ,a_{n})+(-a_{1},\dots ,-a_{n})=(a_{1}-a_{1},\dots ,a_{n}-a_{n})=(0,\dots ,0)$

Kommutativität

$(a_{1},\dots ,a_{n})+(b_{1},\dots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots ,a_{n}+b_{n})=(b_{1}+a_{1},\dots ,b_{n}+a_{n})=(b_{1},\dots ,b_{n})+(a_{1},\dots ,a_{n})$

Multiplikative Halbgruppe $\langle R^{n},*\rangle$

Abgeschlossenheit

$a_{i},b_{i}\in R\Rightarrow a_{i}*b_{i}\in R$ für alle $1\leq i\leq n$

Assoziativität

$((a_{1},\dots ,a_{n})*(b_{1},\dots ,b_{n}))*(c_{1},\dots ,c_{n})=(a_{1}*b_{1},\dots ,a_{n}*b_{n})*(c_{1},\dots ,c_{n})=((a_{1}*b_{1})*c_{1},\dots ,(a_{n}*b_{n})*c_{n})=$

$(a_{1}*(b_{1}*c_{1}),\dots ,a_{n}*(b_{n}*c_{n}))=(a_{1},\dots ,a_{n})*(b_{1}*c_{1},\dots ,b_{n}*c_{n})=(a_{1},\dots ,a_{n})*((b_{1},\dots ,b_{n})*(c_{1},\dots ,c_{n}))$

Distributivgesetze

$((a_{1},\dots ,a_{n})+(b_{1},\dots ,b_{n}))*(c_{1},\dots ,c_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots ,a_{n}+b_{n})*(c_{1},\dots ,c_{n})=((a_{1}+b_{1})*c_{1},\dots ,(a_{n}+b_{n})*c_{n})=$

$((a_{1}*c_{1})+(b_{1}*c_{1}),\dots ,(a_{n}*c_{n})+(b_{n}*c_{n}))=(a_{1}*c_{1},\dots ,a_{n}*c_{n})+(b_{1}*c_{1},\dots ,b_{n}*c_{n})=$

$((a_{1},\dots ,a_{n})*(c_{1},\dots ,c_{n}))+((b_{1},\dots ,b_{n})*(c_{1},\dots ,c_{n}))$

$(a_{1},\dots ,a_{n})*((b_{1},\dots ,b_{n})+(c_{1},\dots ,c_{n}))=(a_{1},\dots ,a_{n})*(b_{1}+c_{1},\dots ,b_{n}+c_{n})=(a_{1}*(b_{1}+c_{1}),\dots ,a_{n}*(b_{n}+c_{n}))=$

$((a_{1}*b_{1})+(a_{1}*c_{1}),\dots ,(a_{n}*b_{n})+(a_{n}*c_{n})=(a_{1}*b_{1},\dots ,a_{n}*b_{n})+(a_{1}*c_{1},\dots ,a_{n}*c_{n})=$

$((a_{1},\dots ,a_{n})*(b_{1},\dots ,b_{n}))+((a_{1},\dots ,a_{n})*(c_{1},\dots ,c_{n}))$