TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 432

Sei $⟨R,+,\ast ⟩$ ein Ring. Man zeige, dass dann auch $R\times R$ mit den Operationen

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ $(a,b)\ast (c,d)=(a\ast c,b\ast d)$

ein Ring ist.

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Hilfreiches

(Mit $(a,b)$ ist hier das Paar gemeint, dessen erste Komponente $a$ ist, und dessen zweite Komponente $b$ ist. Wenn $R$ zum Beispiel der Ring der ganzen Zahlen ist, dann wäre das Paar $(-2,7)$ so ein $(a,b)$.)

Ring

Ring

Ein Ring $(R,+,\cdot )$ ist eine Menge $R$ mit zwei binären Operationen $+$ und $\cdot$, sodass

• $(R,+)$ eine kommutative Gruppe ist,
• $(R,\cdot )$ eine Halbgruppe ist,
• die Distributivgesetze

$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und

$(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

für alle $a,b,c\in R$ gelten.

Lösungsvorschlag von RolandU

Ist wahrscheinlich eh falsch, aber ich probiers mal..

Lösungsweg

Damit ich leichter Arbeiten kann, erschaffe ich eine neue Menge "S".

S = R x R

Unsere Problemstellung lautet nun: Ist $⟨S,+,\ast ⟩$ ein Ring? Gehen wir also alle Voraussetzungen für Ringe durch:

• $⟨S,+⟩$ ist sicher eine kommutative Gruppe, da $⟨R,+⟩$ schon eine ist und bei Operationen in R x R dieselben Regeln gelten müssen, wie in R selbst.
• $⟨S,\ast ⟩$ ist sicher eine Halbgruppe, da $⟨R,\ast ⟩$ schon eine ist.
• da in R die Distributivgesetze gelten, gelten sie auch in R x R.

Siehe Diskussion

Lösungsvorschlag von Lacce

Hab grad gesehen, dass das Beispel schon gelöst im Wiki steht: Beispiel 297

Ist echt nur stures nachrechnen - ich rechne es trotzdem mal vor..

Siehe Diskussion

Ich zeige gleich allgemeiner: Ist $⟨R,+,\ast ⟩$ ein Ring, $n\in \mathbb{N}$, so ist auch $⟨R^n,+,\ast ⟩$ einer mit den Operationen:

$(a_1,\dots ,a_n)+(b_1,\dots ,b_n)=(a_1+b_1,\dots ,a_n+b_n)$

$(a_1,\dots ,a_n)\ast (b_1,\dots ,b_n)=(a_1\ast b_1,\dots ,a_n\ast b_n)$

Additive Gruppe $⟨R^n,+⟩$

Abgeschlossenheit

$a_i,b_i\in R\Rightarrow a_i+b_i\in R$ für alle $1\le i\le n$

Assoziativität

$((a_1,\dots ,a_n)+(b_1,\dots ,b_n))+(c_1,\dots ,c_n)=(a_1+b_1,\dots ,a_n+b_n)+(c_1,\dots ,c_n)=((a_1+b_1)+c_1,\dots ,(a_n+b_n)+c_n)=$

$(a_1+(b_1+c_1),\dots ,a_n+(b_n+c_n))=(a_1,\dots ,a_n)+(b_1+c_1,\dots ,b_n+c_n)=(a_1,\dots ,a_n)+((b_1,\dots ,b_n)+(c_1,\dots ,c_n))$

Einheitselement

Sei nun $0$ das Einheitselement von $⟨R,+⟩$. Es ist $(0,\dots ,0)$ Einheitselement von $⟨R^n,+⟩$.

$(a_1,\dots ,a_n)+(0,\dots ,0)=(a_1+0,\dots ,a_n+0)=(a_1,\dots ,a_n)$

Inverse Elemente

$-(a_1,\dots ,a_n)=(-a_1,\dots ,-a_n)$, denn:

$(a_1,\dots ,a_n)+(-a_1,\dots ,-a_n)=(a_1-a_1,\dots ,a_n-a_n)=(0,\dots ,0)$

Kommutativität

$(a_1,\dots ,a_n)+(b_1,\dots ,b_n)=(a_1+b_1,\dots ,a_n+b_n)=(b_1+a_1,\dots ,b_n+a_n)=(b_1,\dots ,b_n)+(a_1,\dots ,a_n)$

Multiplikative Halbgruppe $⟨R^n,\ast ⟩$

Abgeschlossenheit

$a_i,b_i\in R\Rightarrow a_i\ast b_i\in R$ für alle $1\le i\le n$

Assoziativität

$((a_1,\dots ,a_n)\ast (b_1,\dots ,b_n))\ast (c_1,\dots ,c_n)=(a_1\ast b_1,\dots ,a_n\ast b_n)\ast (c_1,\dots ,c_n)=((a_1\ast b_1)\ast c_1,\dots ,(a_n\ast b_n)\ast c_n)=$

$(a_1\ast (b_1\ast c_1),\dots ,a_n\ast (b_n\ast c_n))=(a_1,\dots ,a_n)\ast (b_1\ast c_1,\dots ,b_n\ast c_n)=(a_1,\dots ,a_n)\ast ((b_1,\dots ,b_n)\ast (c_1,\dots ,c_n))$

Distributivgesetze

$((a_1,\dots ,a_n)+(b_1,\dots ,b_n))\ast (c_1,\dots ,c_n)=(a_1+b_1,\dots ,a_n+b_n)\ast (c_1,\dots ,c_n)=((a_1+b_1)\ast c_1,\dots ,(a_n+b_n)\ast c_n)=$

$((a_1\ast c_1)+(b_1\ast c_1),\dots ,(a_n\ast c_n)+(b_n\ast c_n))=(a_1\ast c_1,\dots ,a_n\ast c_n)+(b_1\ast c_1,\dots ,b_n\ast c_n)=$

$((a_1,\dots ,a_n)\ast (c_1,\dots ,c_n))+((b_1,\dots ,b_n)\ast (c_1,\dots ,c_n))$

$(a_1,\dots ,a_n)\ast ((b_1,\dots ,b_n)+(c_1,\dots ,c_n))=(a_1,\dots ,a_n)\ast (b_1+c_1,\dots ,b_n+c_n)=(a_1\ast (b_1+c_1),\dots ,a_n\ast (b_n+c_n))=$

$((a_1\ast b_1)+(a_1\ast c_1),\dots ,(a_n\ast b_n)+(a_n\ast c_n)=(a_1\ast b_1,\dots ,a_n\ast b_n)+(a_1\ast c_1,\dots ,a_n\ast c_n)=$

$((a_1,\dots ,a_n)\ast (b_1,\dots ,b_n))+((a_1,\dots ,a_n)\ast (c_1,\dots ,c_n))$