Sei
,
,
. Zeigen Sie, daß
und
Teilräume von
sind und bestimmen Sie deren Dimension.
- Untervektorraum
Untervektorraum[Bearbeiten, Wikipedia, 3.05 Definition]
Sei
ein Vektorraum,
heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:
![{\displaystyle U\neq \varnothing }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a0a4d79eb9252e6219ff90e86ac3213b&mode=mathml)
ist abgeschlossen bezüglich ![{\displaystyle U+U)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5ea32ca868f19cc90fb1ffb81531a6f0&mode=mathml)
ist abgeschlossen bezüglich ![{\displaystyle U\cdot K)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f741193776906a6d982d278ddb2edbf1&mode=mathml)
(wurde vom UE-Leiter so ähnlich vorgerechnet) für die lösung des WS08 siehe unten
- U ist nicht leer: Gegenbeispiel
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\in U\quad \surd }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=da978f8672493ce3c1b0e3417bfdf47d&mode=mathml)
- Additivität:
- Sei
, ![{\displaystyle {\overrightarrow {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{1}/2\\y_{1}/3\end{pmatrix}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f9ffb26927f1476ff5f2da039aa1ef81&mode=mathml)
![{\displaystyle \Rightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{1}/2\\x_{1}/3\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{1}/2\\y_{1}/3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&+y_{1}\\x_{1}/2&+y_{1}/2\\x_{1}/3&+y_{1}/3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\{\frac {1}{2}}x_{1}+y_{1}\\{\frac {1}{3}}x_{1}+y_{1}\end{pmatrix}}\in U\quad \surd }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fcc77702aff6aceb80fdd1357f302674&mode=mathml)
![{\displaystyle \lambda {\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}\lambda x_{1}\\\lambda x_{1}/2\\\lambda x_{1}/3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda x_{1}\\{\frac {1}{2}}\lambda x_{1}\\{\frac {1}{3}}\lambda x_{1}\end{pmatrix}}\in U\quad \surd }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0095a558ef31ac89ad51599cd9e49bac&mode=mathml)
ist Unterraum von
.
- W ist nicht leer: Gegenbeispiel
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\in W\quad \surd }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9b7f86ebc4f1e06d2b1b49afd337fafd&mode=mathml)
- Additivität:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\0\\x_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\0\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\0\\x_{3}+y_{3}\end{pmatrix}}\in W\quad \surd }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fd78208f5b9c34f67233f2fe41df4482&mode=mathml)
![{\displaystyle \lambda {\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}\lambda x_{1}\\0\\\lambda x_{3}\end{pmatrix}}=\in W\quad \surd }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1f1a5bf5d96262446737b8bc9f754db3&mode=mathml)
ist Unterraum von
.
Die Basis von
ist z.B.
; der gesamte Teilraum
kann also von
erzeugt werden, hängt also nur von einer Variable ab
.
Die kanonische Basis von
ist
,
; der gesamte Teilraum
kann also von
erzeugt werden, hängt also von zwei Variablen ab
.
Baccus 01:56, 19. Jan 2007 (CET)
// add WS08 von p0rt0s
Der Beweis, dass U und W Teilmengen von V sind ist auf die gleiche Art und Weise von oben zu lösen.
Geringfügige Änderung in der Angabe: werde nur die Lösung für den zweiten Teil der Aufgabe geben, man nimmt von hier aus an, dass U und W Teilräume von V sind.
Die Basis von
ist z.B.
; der gesamte Teilraum
kann also von
erzeugt werden, hängt also von zwei Variablen ab
.
Die Basis von
ist z.B.
; der gesamte Teilraum
kann also von
erzeugt werden, hängt also von zwei Variablen ab
.
P0rt0s 11:28, 14. Jän 2008 (CET)
Wikipedia: