TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 426

Sei $A:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die lineare Abbildung mit $A{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$.

Bestimmen Sie den KernA und dim(KernA).

Hilfreiches

Lineare Abbildung

Definition:

Seien $<V,\oplus ,K>$ und $<W,\boxplus ,K>$ Vektorräume über dem Körper $K$.

$f:V\rightarrow W$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

1. $\forall {\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in V:\quad f({\overrightarrow {x}}\oplus {\overrightarrow {y}})=f({\overrightarrow {x}})\boxplus f({\overrightarrow {y}})$
2. $\forall \lambda \in K:\quad f(\lambda {\overrightarrow {x}})=\lambda f({\overrightarrow {x}})$

Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix $M$ festgelegt werden, für die gilt:

$\forall {\overrightarrow {x}}\in V:\quad f({\overrightarrow {x}})=M{\overrightarrow {x}}$

Lösungsvorschlag

Matrix der Abbildung bestimmen

siehe: Beispiel

$M={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{3}}&1\\{\frac {1}{3}}&-1\end{pmatrix}}$

Kern der Abbildung

$ker(A)=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{2}|A\cdot {\vec {x}}={\vec {0}}\}$

Dazu wenden wir das Gauß'sche Eliminationsverfahren an:
man addiert man zur 2. Zeile die 1. Zeile:

$M'={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{3}}&1\\0&0\end{pmatrix}}$
$\Rightarrow -{\frac {1}{3}}\cdot x+y=0$
$\Rightarrow y={\frac {1}{3}}\cdot x$

$ker(A)={x \choose {\frac {x}{3}}}=x\cdot {1 \choose {\frac {1}{3}}}=\left[{1 \choose {\frac {1}{3}}}\right]$

Nachdem der Kern also nur von einem Vektor aufgespannt wird ist die Dimension des Kerns = 1

$def(A)=dim(kerA)=1\qquad$