TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 426

Sei $A:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ die lineare Abbildung mit $A\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$.

Bestimmen Sie den KernA und dim(KernA).

Hilfreiches

Lineare Abbildung

Definition:

Seien $<V,\oplus ,K>$ und $<W,⊞,K>$ Vektorräume über dem Körper $K$.

$f:V\to W$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

1. $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V:f(\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{y})=f(\overrightarrow{x})⊞f(\overrightarrow{y})$
2. $\mathrm{\forall }\lambda \in K:f(\lambda \overrightarrow{x})=\lambda f(\overrightarrow{x})$

Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix $M$ festgelegt werden, für die gilt:

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in V:f(\overrightarrow{x})=M\overrightarrow{x}$

Lösungsvorschlag

Matrix der Abbildung bestimmen

siehe: Beispiel

$M=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{3}& 1\\ \frac{1}{3}& -1\end{array}\right)$

Kern der Abbildung

$ker(A)=\{\overrightarrow{x}\in {ℝ}^2|A\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\}$

Dazu wenden wir das Gauß'sche Eliminationsverfahren an:
man addiert man zur 2. Zeile die 1. Zeile:

$M^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{3}& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$
$\Rightarrow -\frac{1}{3}\cdot x+y=0$
$\Rightarrow y=\frac{1}{3}\cdot x$

$ker(A)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{\frac{x}{3}})=x\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{\frac{1}{3}})=\left[(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{\frac{1}{3}})\right]$

Nachdem der Kern also nur von einem Vektor aufgespannt wird ist die Dimension des Kerns = 1

$def(A)=dim(kerA)=1$