TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 35

Man untersuche die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_{n}$ sind für fast alle $n\in \mathbb {N}$ definiert.)

$a_{n}={\frac {2n^{2}-5n^{\frac {9}{4}}+7}{7n^{3}+2n^{-{\frac {3}{2}}}+1}}$

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Hilfreiches

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \epsilon >0\quad \exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$   (Definition 4.4)

Quotientenkriterium

Wenn $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq q<1\;\forall n\geq n_{0}$, dann ist $\sum a_{n}$ absolut konvergent.

Falls hingegen $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1\;\forall n\geq n_{0}$, dann ist $\sum a_{n}$ divergent.   (Satz 4.52)

Cauchykriterium

$\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }:\quad \forall \varepsilon >0\quad \exists N(\varepsilon )\quad \forall n,m\geq N(\varepsilon ):\quad \left|x_{n}-x_{m}\right|<\varepsilon$.   (Definition 4.28)

Eine Cauchy-Folge ist stets konvergent (in $\mathbb {R}$).

Lösung von Baccus

Konvergenzverhalten

Die höchste Potenz im Zähler ist $n^{\frac {9}{4}}$, die höchste Potenz im Nenner ist $n^{3}$: $\quad \Rightarrow \left|n^{\frac {9}{4}}\right|<\left|n^{3}\right|\;\forall n\in \mathbb {N}$.

Der Nenner schwindet also schneller als der Zähler $\Rightarrow \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$ ${\xrightarrow[{\text{kriterium}}]{\text{Quotienten-}}}$ $\langle a_{n}\rangle$ ist konvergent.

Grenzwert

Wir ziehen aus der gesamten Gleichung das Nenner-Element mit der höchsten Potenz ($n^{3}$) einfach brutal heraus:

$\langle a_{n}\rangle ={\frac {2n^{2}-5n^{\frac {9}{4}}+7}{7n^{3}+2n^{-{\frac {3}{2}}}+1}}=$ ${\frac {{\frac {2n^{2}}{n^{3}}}-{\frac {5n^{\frac {9}{4}}}{n^{3}}}+{\frac {7}{n^{3}}}}{{\frac {7n^{3}}{n^{3}}}+{\frac {2n^{-{\frac {3}{2}}}}{n^{3}}}+{\frac {1}{n^{3}}}}}=$ ${\frac {{\overset {\rightarrow 0}{\overbrace {\frac {2}{n}} }}-{\overset {\rightarrow 0}{\overbrace {\frac {5}{n^{\frac {3}{4}}}} }}+{\overset {\rightarrow 0}{\overbrace {\frac {7}{n^{3}}} }}}{{\underset {\rightarrow 7}{\underbrace {7} }}+{\underset {\rightarrow 0}{\underbrace {\frac {2}{n^{\frac {9}{2}}}} }}+{\underset {\rightarrow 0}{\underbrace {\frac {1}{n^{3}}} }}}}=$ ${\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{\lim }}{\underset {=0}{\underbrace {\frac {0-0+0}{7+0+0}} =0}}$

Dieser Trick funktioniert auch bei ähnlichen Beispielen :-).

--Baccus 04:16, 23. Jan 2007 (CET)

Lösungsversuch von Hapi

Zunächst sollte man die Folge etwas näher untersuchen und abschätzen.

Der Zähler entspricht dem Wert ($n^{2}(2-5{\sqrt[{4}]{n}})+7$ ), $n^{2}$ und ${\sqrt[{4}]{n}}$ konvergieren gegen $-\infty$.

Der Nenner ist der Wert $7n^{3}+2/{\sqrt[{3/2}]{n}}+1$, wobei $n^{3}$ und $1/{\sqrt[{3/2}]{n}}$ ebenfalls gegen $\infty$ konvergieren.

${\frac {-\infty }{\infty }}$ ist aber ein unbestimmter Ausdruck, man muss daher andere Methoden anwenden, um die Konvergenz der Reihe zu beweisen. Eine derartige Möglichkeit wäre z.B. das Qotientenkriterium ob an /an+1 < 1 ist oder ob in einer hinlänglich kleinen Epsilon Umgebung an > an+1, damit die Folge konvergiert (Cauchy-Kriterium). d.h an = 1/q > an+1 = 1/q+1

Da $n^{2}<n^{3}$ ist und auch ${\frac {n^{2}{\sqrt[{4}]{n}}}{n^{3}}}$ kleiner $n^{3}$ ist, wäre somit Konvergenz gegeben.

Der Limes berechnet sich wie folgt:

(Man dividert den Zäher durch $n^{2}*{\sqrt[{4}]{n}}$ und den Nenner durch $n^{3}$ (um die n aus den Zählern zu kriegen!))

Leider nicht richtig, habe bei Baron nachgeschlagen, Baccus hat da besser aufgepaßt. Man muss alles durch die insgesamt größte Potenz (hier $n^{3}$) dividieren, auch wenn die Potenzen in Zähler und Nenner ungleich sind. Für Puristen formal richtiger die Brüche nicht dividieren sondern den Bruch mit jeweils ${\frac {1}{n^{3}}}$ erweitern. Danke für den Hinweis, Baccus!

${\frac {{\frac {2}{n}}-{\frac {5}{\sqrt[{4}]{n^{3}}}}+{\frac {7}{n^{3}}}}{7+{\frac {2}{n^{3}*{\sqrt[{\frac {2}{3}}]{n}}}}+{\frac {1}{n^{3}}}}}={\frac {{\frac {2}{\infty }}-{\frac {5}{\infty }}+{\frac {7}{\infty }}}{7+{\frac {2}{\infty }}+{\frac {1}{\infty }}}}={\frac {0-0+0}{7+0+0}}={\frac {0}{7}}$

da jeder Wert /$\infty$ den Limes 0 hat.

Lösung Übungsstunde Urbanek:

Da größere Potenz im Zähler steht, konvergiert die Reihe. Einfach Gleichung mit 1/n³ in Zähler und Nenner erweitert, dann Limes berechnet wie oben, Ergebnis 0/7 = 0

Hapi

Links

Ähnliche Beispiele:

  Beispiel 446-449
  Beispiel 451-462