TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 123

Untersuchen Sie, ob es sich bei der folgenden Relation $R\subseteq A\times B$ um eine Funktion, injektive Funktion, surjektive Funktion bzw. bijektive Funktion handelt.

$R=\left\lbrace \left(x^{2},{\frac {1}{x^{2}}}\right)\ |\ x\in \mathbb {R} ^{+}\right\rbrace ,A=B=\mathbb {R} ^{+}$

Hilfreiches

Relation

Relation

Eine Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts $A\times B$. Ist $\!\ A=B$ so spricht man von einer binären Relation. Anstelle von $(a,b)\in R$ schreibt man auch $\!\ aRb$, anstelle von $(a,b)\notin R$ auch $aR\!\!\!/b$.

Funktion

Funktion

Eine Funktion oder Abbildung $f:A\to B$ von $A$ nach $B$ ist eine Relation $R_{f}\subseteq A\times B$ mit der Eigenschaft, dass zu jedem $a\in A$ genau ein $b\in B$ mit $aR_{f}b$ existiert. Man schreibt dafür $b=f(a)$. Der Graph einer Funktion $f:A\to B$ ist die Menge $\{(a,f(a))|a\in A\}\subseteq A\times B$.

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})$ oder äquivalent: $a_{1},a_{2}\in A,f(a_{1})=f(a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}$

Surjektivität

Surjektivität

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: $\forall b\in B\ \exists a\in A:b=f(a)$

Bijektivität

Bijektivität

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion $f^{-1}()$.

Lösungsvorschlag

Funktion

Zuerst muss man sich überlegen, ob das überhaupt eine Funktion ist

Damit die Relation eine Funktion ist muss jedes $a\in A=\mathbb {R} ^{+}$ genau einem $b\in B=\mathbb {R} ^{+}$ zugeordnet werden.

Nun zuerst bildet $x^{2}\quad A=\mathbb {R} ^{+}$ auf $B'=\mathbb {R} ^{+}$ ab. Und dann wird $B'=\mathbb {R} ^{+}$ durch ${\frac {1}{x^{2}}}$ auf $B=\mathbb {R} ^{+}$ abgebildet.

Wichtig ist es hier zu erkennen, dass

• jedes $a\in A=\mathbb {R} ^{+}$ abgebildet wird (es gibt keine Bereiche/ Werte in $\mathbb {R} ^{+}$ die man nicht in die beiden Funktionen einsetzen dürfte)
• jedes $a\in A=\mathbb {R} ^{+}$ auf nur genau ein $b\in B=\mathbb {R} ^{+}$ abgebildet wird (es kann nicht passieren dass für ein $a\in A=\mathbb {R} ^{+}$ mehrere $b\in B=\mathbb {R} ^{+}$ möglich sind)

Daher sind die Vorrausetzungen für eine Funktion erfüllt und die Relation ist eine Funktion.

$f\colon {\begin{cases}\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}\\x^{2}\mapsto {\frac {1}{x^{2}}}\end{cases}}$

Nachdem $x^{2}$ in unserem Definitions/ Wertebereich bijektiv ist, gibt es eine Umkehrfunktion davon und man kann die Funktion noch etwas einfacher darstellen:

$f\colon {\begin{cases}\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}\\x\mapsto {\frac {1}{x}}\end{cases}}$

Injektivität

${\frac {1}{x}}$ ist in $\mathbb {R} ^{+}$ injektiv, weil für alle $a_{1},a_{2}\in A:a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})$ gilt. (es gibt alle keine Funktionswerte die doppelt vorkommen)

Surjektivität

${\frac {1}{x}}$ ist in $\mathbb {R} ^{+}$ surjektiv, weil $\forall b\in B\exists a\in A:b=f(a)$ gilt. (für jedes Element des Bildbereichs B lässt sich ein zugehöriges Element aus dem Definitionsbereich A finden)

Bijektivität

nachdem die Funtkion sowohl injektiv als auch surjektiv ist, ist die Funktion automatisch auch bijektiv

Anmerkung

Das Beispiel wurde hier schon von früheren Semestern behandelt. Dort gibt es auch einen Graphen von ${\frac {1}{x^{2}}}$

Links zu anderen Lösungen desselben Beispiels

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 113