TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 146
Man diskutiere die Funktion im Intervall .
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Kurvendiskussion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Nullstellen:
Extremwerte:
- Maximum, falls
- Minimum, falls
- Sattelpunkt, falls
Wendepunkte:
und
Konvexität:
- Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen), falls
- Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen), falls
In der Wikipedia findet sich dazu ein langer Artikel.
Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
von --JasonLeroy 01:14, 12. Mär. 2010 (CET)
Die Intervallangabe beinhaltet eine kleine Information für uns: Die Kurve wiederholt sich nicht.
Grafische Darstellung der Kurve mit WolframAlpha.
Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für die Kurvendiskussion werden die ersten 3 Ableitungen benötigt.
Nullstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Anm.: Ergänzung ... die Nullstellen sind:
Extremwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Anm (Schnitzel): Im allgemeinen Fall nicht hinreichend. muss auch überprüft werden (bzw einfach den Graphen anschaun und erkennen dass in diesem Beispiel die Funktion eh keine Plateaus hat)
Beispielsweise hat keinen Extremwert bei , aus der Rechnung oben würde das aber hervorgehen.
Anm. (Ju): Vollständigkeitshalber muss man natürlich noch die x-Werte in f(x) einsetzen, um die Extremstellen zu bekommen
und was Schnitzel meint auch mittels prüfen, ob es sich um ein Minimum, oder Maximum handelt.
Wendepunkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
und
Konvexität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Aus den Wendepunkten lassen sich nun die Intervalle ablesen, in denen die Kurve die Richtung nicht ändert.
Skizze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ich habe meinen Lösungsvorschlag mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 21:18, 23. Mär 2006 (CET)
Log der Verbesserungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Korrektur bei Nullstelle; wichtige Korrektur bei Wendepunkten! --Markus Nemetz 10:40, 30. Mär 2006 (CEST)
- Kleinere Ergänzungen. --Markus Nemetz 19:52, 28. Mär 2006 (CEST)
- Korrektur im Bereich Konvexivität. --Markus Nemetz 13:31, 27. Mär 2006 (CEST)
- Korrektur im Bereich Konvexivität. --Markus Nemetz 17:20, 25. Mär 2006 (CET)
- Es scheint noch einen Fehler bei den Extremwerten zu geben. f(-pi/6)= +2! daher Minimum. Für f(5pi/6)= -2 daher Maximum. Ich denke mnemetz hat das Minus vor der Ableitung vergessen! lG leiwand
Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Quelle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Panholzer Beispielsammlung WS05 / SS06 Beispiel 436