TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 119

Parametrisieren Sie folgende Kurve nach der Bogenlänge:

$x(t)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{t^2/2}{\frac{1}{3}(2t+1{)}^{3/2}}),t\ge 0$.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Bogenlänge

Bogenlänge

Bogenlänge einer ebenen Kurve: $s={\int }_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+y{\text{'}}^2}dx$

---

Bogenlänge einer ebenen Kurve in Parameterdarstellung/Vektordarstellung:
Parameterdarstellung/Vektordarstellung: $\overrightarrow{x}(t)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$
$s={\int }_{t_1}^{t_2}\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}dt$

---

Bogenlänge einer Raumkurve: $s={\int }_{t_1}^{t_2}\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2+z{\text{'}}^2}dt$

Lösungsvorschlag von Baccus

Parametrisieren meint hier, die Funktion abhängig von der Bogenlänge auszudrücken (also $f(s)=\dots$):

Bogenlänge $s=\int \sqrt{(t^2/2){\text{'}}^2+(\frac{1}{3}(2t+1{)}^{3/2}){\text{'}}^2}=$

Mit der Angabe "$t\ge 0$" ist nur die untere Integrationsgrenze definiert. Falls wir bis $\mathrm{\infty }$ integrieren würden, wäre die Bogenlänge natürlich auch $\mathrm{\infty }$; daher "erfinden" wir zunächst eine willkürliche obere Grenze $u$:

$={\int }_0^u\sqrt{(t^2)+(2t+1)}dt$ $={\int }_0^u\sqrt{(t+1{)}^2}dt=$

$={\frac{t^2}{2}+t|}_0^u$

Grenzen einsetzen:

$s=\frac{u^2}{2}+u$

$u^2+2u-2s=0$

Kleine Lösungsformel

Kleine Lösungsformel

$x^2+px+q=0⟹x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$

$u=-\frac{2}{2}\pm \sqrt{\frac{4}{4}+2s}$

$u=-1\pm \sqrt{1+2s}$

(Die negative Wurzel kann man gleich wieder vergessen, da $(-1)-\sqrt{\dots }<0$, und somit sicher nicht im geforderten Wertebereich liegt.)

Damit haben wir das oben eingeführte $u$ als Funktion von $s$ ausgedrückt, und können insgesamt schreiben:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{(\sqrt{1+2s}-1{)}^2/2}{\frac{1}{3}(2(\sqrt{1+2s}-1)+1{)}^{3/2}})$

Links

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