TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 119

Parametrisieren Sie folgende Kurve nach der Bogenlänge:

$x(t)={t^{2}/2 \choose {\tfrac {1}{3}}(2t+1)^{3/2}},\quad t\geq 0$.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Bogenlänge

Bogenlänge

Bogenlänge einer ebenen Kurve: $s=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx$

---

Bogenlänge einer ebenen Kurve in Parameterdarstellung/Vektordarstellung:
Parameterdarstellung/Vektordarstellung: ${\vec {x}}(t)=\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)$
$s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}dt$

---

Bogenlänge einer Raumkurve: $s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}dt$

Lösungsvorschlag von Baccus

Parametrisieren meint hier, die Funktion abhängig von der Bogenlänge auszudrücken (also $f(s)=\ldots$):

Bogenlänge $s=\int {\sqrt {\left(t^{2}/2\right)'^{2}+\left({\tfrac {1}{3}}(2t+1)^{3/2}\right)'^{2}}}=$

Mit der Angabe "$t\geq 0$" ist nur die untere Integrationsgrenze definiert. Falls wir bis $\infty$ integrieren würden, wäre die Bogenlänge natürlich auch $\infty$; daher "erfinden" wir zunächst eine willkürliche obere Grenze $u$:

$=\int _{0}^{u}{\sqrt {(t^{2})+(2t+1)}}dt$ $=\int _{0}^{u}{\sqrt {(t+1)^{2}}}dt=$

$=\left.{\frac {t^{2}}{2}}+t\right|_{0}^{u}$

Grenzen einsetzen:

$s={\frac {u^{2}}{2}}+u$

$u^{2}+2u-2s=0$

Kleine Lösungsformel

Kleine Lösungsformel

$x^{2}+px+q=0\quad \Longrightarrow \quad x_{1,2}=-{\tfrac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\tfrac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$

$u=-{\frac {2}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {4}{4}}+2s}}$

$u=-1\pm {\sqrt {1+2s}}$

(Die negative Wurzel kann man gleich wieder vergessen, da $(-1)-{\sqrt {\ldots }}\;<0$, und somit sicher nicht im geforderten Wertebereich liegt.)

Damit haben wir das oben eingeführte $u$ als Funktion von $s$ ausgedrückt, und können insgesamt schreiben:

${({\sqrt {1+2s}}-1)^{2}/2 \choose {\tfrac {1}{3}}(2({\sqrt {1+2s}}-1)+1)^{3/2}}$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum (Mittwoch)
• Diskussion im Informatik-Forum (Montag)

Ähnliche Beispiele:

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