TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 369

Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrix:

$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 2& 3\\ 2& 3& 14\end{array}\right)$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Hilfreiches

Hauptminorenkriterium

Hauptminorenkriterium

Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind.
Eine symmetrische Matrix ist genau dann negativ definit, wenn die Hauptminoren $M_k$ für die geraden k positiv und für die ungeraden k negativ sind (bzw. wenn -A positiv definit ist. Das alternierende Schema entsteht durch die Auswirkungen der elementaren Spalten/Zeilenumformungen)

(führende) Hauptminoren

Zum Beispiel:

$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 2& 3\\ 2& 3& 14\end{array}\right)$

1. Hauptminor: $\left|\begin{array}{c}4\end{array}\right|$

2. Hauptminor: $\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 2\end{array}\right|$

3. Hauptminor: $\left|\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 2& 3\\ 2& 3& 14\end{array}\right|$

Lösung von Jules

von --Jules 15:24, 12. Apr. 2011 (CEST)

Das kann man mithilfe des Hauptminorenkriteriums einfach bestimmen:

1. Hauptminore: $\left|\begin{array}{c}4\end{array}\right|$

$𝖤𝗋𝗀𝖾𝖻𝗇𝗂𝗌\mathsf{:}\mathrm{𝟦}>\mathrm{𝟢}$

2. Hauptminore: $\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 2\end{array}\right|$

$𝖤𝗋𝗀𝖾𝖻𝗇𝗂𝗌\mathsf{:}\mathrm{𝟪}\mathsf{-}\mathrm{𝟦}\mathsf{=}\mathrm{𝟦}>\mathrm{𝟢}$

3. Hauptminore: $\left|\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 2& 3\\ 2& 3& 14\end{array}\right|$

$𝖤𝗋𝗀𝖾𝖻𝗇𝗂𝗌\mathsf{:}\mathrm{𝟣𝟣𝟤}\mathsf{+}\mathrm{𝟣𝟤}\mathsf{+}\mathrm{𝟣𝟤}\mathsf{-}\mathrm{𝟪}\mathsf{-}\mathrm{𝟥𝟨}\mathsf{-}\mathrm{𝟧𝟨}\mathsf{=}\mathrm{𝟥𝟨}>\mathrm{𝟢}$

Alle Minoren positiv, d.h. die Matrix ist positiv definit!

Links

• http://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit
• f.thread:72534