TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 199
Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:
- (a)
- (b)
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sind die Funktionen und in einer Umgebung von
- differenzierbar und
- gilt und
- existiert ,
so gilt: . Eine analoge Aussage gilt für , oder auch falls .
Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
a)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Um die Regel von l'Hospital anwenden zu können, muss man den Ausdruck so umformen, dass ein Bruch entsteht, z.B. oder . Letzteres hat den Nachteil, dass das Differenzieren komplizierter (Produktregel!) wird.
Wir erhalten nach der Umformung des tan daher folgendes:
Da ja
Anmerkung: (90 Grad) ist 1, cot = , abgeleitet
Wenn man das Beispiel über den Tangens löst sieht es folgendermaßen aus:
b)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wir können hier, da ein Bruch vorliegt, wieder die Regel von l'Hospital anwenden.
- Zähler nach der Kettenregel differenziert gibt
- Nenner nach der Produktregel differenziert gibt
Mit eingesetzt ist das Ergebnis daher (uneigentlicher Grenzwert!)
Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Rechenfehler ausgebessert --W1n5t0n 15:09, 30. Jan. 2010 (CET)
- Vorzeichenfehler in b) --Thomarsch 19:19, 15. Mär. 2010 (CET)
ist per se nicht , weiters zeigt uns ein Blick auf die Funktion selbst, dass der Grenzwert im positiven Bereich liegt. (Limes Berechnung durch WolframAlpha) - pi vergessen ausgebessert, Lösungsvorschlag a letzte Zeile
Lösungsvorschlag von mnemetz für 2a (= 1c alt)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ich habe meinen Lösungsvorschlag mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 11:32, 17. Mär 2006 (CET)
Teillösung im Konversatorium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Siehe <TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/L'Hospital> (bitte Konversatorium und TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 1 nach der Übung ergänzen!)