TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 199

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Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

  1. (a)
  2. (b)
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}}

oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Regel von l'Hospital
Regel von l'Hospital[Bearbeiten, Wikipedia, 5.35 Satz]

Sind die Funktionen und in einer Umgebung von

  • differenzierbar und
  • gilt und
  • existiert ,

so gilt: . Eine analoge Aussage gilt für , oder auch falls .

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

a)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Um die Regel von l'Hospital anwenden zu können, muss man den Ausdruck so umformen, dass ein Bruch entsteht, z.B. oder . Letzteres hat den Nachteil, dass das Differenzieren komplizierter (Produktregel!) wird.

Wir erhalten nach der Umformung des tan daher folgendes:

Da ja

Anmerkung: (90 Grad) ist 1, cot = , abgeleitet

Wenn man das Beispiel über den Tangens löst sieht es folgendermaßen aus:

b)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Wir können hier, da ein Bruch vorliegt, wieder die Regel von l'Hospital anwenden.

  • Zähler nach der Kettenregel differenziert gibt
  • Nenner nach der Produktregel differenziert gibt

Mit eingesetzt ist das Ergebnis daher (uneigentlicher Grenzwert!)

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Rechenfehler ausgebessert --W1n5t0n 15:09, 30. Jan. 2010 (CET)
  • Vorzeichenfehler in b) --Thomarsch 19:19, 15. Mär. 2010 (CET)
    ist per se nicht , weiters zeigt uns ein Blick auf die Funktion selbst, dass der Grenzwert im positiven Bereich liegt. (Limes Berechnung durch WolframAlpha)
  • pi vergessen ausgebessert, Lösungsvorschlag a letzte Zeile

Lösungsvorschlag von mnemetz für 2a (= 1c alt)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ich habe meinen Lösungsvorschlag mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 11:32, 17. Mär 2006 (CET)

Teillösung im Konversatorium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe <TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/L'Hospital> (bitte Konversatorium und TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 1 nach der Übung ergänzen!)

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]