TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 146

Man diskutiere die Funktion $f(x)=\sin {x}-{\sqrt {3}}\cos {x}$ im Intervall $I=[-\pi ,\pi ]\!$.

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Hilfreiches

Kurvendiskussion

Kurvendiskussion

Nullstellen:

$f(x)=0\!$

Extremwerte:

$f'(x)=0\!$

• Maximum, falls $f''(x)<0\!$
• Minimum, falls $f''(x)>0\!$
• Sattelpunkt, falls $f''(x)=0\!$

Wendepunkte:

$f''(x)=0\!$ und $f'''(x)\neq 0\!$

Konvexität:

• Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen), falls $f''(x)>0\!$
• Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen), falls $f''(x)<0\!$

In der Wikipedia findet sich dazu ein langer Artikel.

Lösungsvorschlag

von --JasonLeroy 01:14, 12. Mär. 2010 (CET)

Die Intervallangabe beinhaltet eine kleine Information für uns: Die Kurve wiederholt sich nicht.

Grafische Darstellung der Kurve mit WolframAlpha.

Ableitungen

Für die Kurvendiskussion werden die ersten 3 Ableitungen benötigt.

$f(x)=\sin {x}-{\sqrt {3}}\cos {x}$

$f'(x)=\cos {x}+{\sqrt {3}}\sin {x}$

$f''(x)=-\sin {x}+{\sqrt {3}}\cos {x}$

$f'''(x)=-\cos {x}-{\sqrt {3}}\sin {x}$

Nullstellen

$f(x)=0\!$

$\sin {x}-{\sqrt {3}}\cos {x}=0$

$\sin {x}={\sqrt {3}}\cos {x}$

${\dfrac {\sin {x}}{\cos {x}}}={\sqrt {3}}$

$\tan {x}={\sqrt {3}}$

$x=\arctan {\sqrt {3}}$

$x_{1}={\dfrac {\pi }{3}},x_{2}=-{\dfrac {2\pi }{3}}$

---

Anm.: Ergänzung ... die Nullstellen sind: $N_{1}({\frac {\pi }{3}},0),N_{2}(-{\frac {2\pi }{3}},0)$

Extremwerte

$f'(x)=0\!$

$\cos {x}+{\sqrt {3}}\sin {x}=0$

$\cos {x}=-{\sqrt {3}}\sin {x}$

${\dfrac {\sin {x}}{\cos {x}}}=-{\dfrac {1}{\sqrt {3}}}$

$\tan {x}=-{\dfrac {1}{\sqrt {3}}}$

$x=\arctan {-{\dfrac {1}{\sqrt {3}}}}$

$x_{1}=-{\dfrac {\pi }{6}},x_{2}={\dfrac {5\pi }{6}}$

---

Anm (Schnitzel): Im allgemeinen Fall nicht hinreichend. $f''$ muss auch überprüft werden (bzw einfach den Graphen anschaun und erkennen dass in diesem Beispiel die Funktion eh keine Plateaus hat)

Beispielsweise hat $f(x)=x^{3}$ keinen Extremwert bei $x=0$, aus der Rechnung oben würde das aber hervorgehen.

---

Anm. (Ju): Vollständigkeitshalber muss man natürlich noch die x-Werte in f(x) einsetzen, um die Extremstellen zu bekommen
$E_{1}(-{\frac {\pi }{6}},-2),E_{2}({\frac {5}{6}}\pi ,2)$
und was Schnitzel meint auch mittels $f''$ prüfen, ob es sich um ein Minimum, oder Maximum handelt.

Wendepunkte

$f''(x)=0\!$ und $f'''(x)\neq 0$

$-\sin {x}+{\sqrt {3}}\cos {x}=0$

$\sin {x}={\sqrt {3}}\cos {x}$

$\tan {x}={\sqrt {3}}$

$x=\arctan({\sqrt {3}})=\arctan(\pm 1,73...)$

$x_{1}={\dfrac {\pi }{3}},x_{2}=-{\dfrac {2\pi }{3}}$

$f'''({\dfrac {\pi }{3}})=-2\neq 0$

$f'''(-{\dfrac {2\pi }{3}})=2\neq 0$

$\Rightarrow W_{1}({\frac {\pi }{3}},0)\quad W_{2}(-{\frac {2\pi }{3}},0)$

Konvexität

Aus den Wendepunkten lassen sich nun die Intervalle ablesen, in denen die Kurve die Richtung nicht ändert.

$[-\pi ;-{\dfrac {-2\pi }{3}}[\ldots f''(-\pi )=-sin{-\pi }+{\sqrt {3}}\cos {-\pi }=-{\sqrt {3}}\ldots Konkavbogen$

$]-{\dfrac {-2\pi }{3}};{\dfrac {\pi }{3}}[\ldots f''(0)=-sin{0}+{\sqrt {3}}\cos {0}={\sqrt {3}}\ldots Konvexbogen$

$]{\dfrac {\pi }{3}};\pi ]\ldots f''(\pi )=-sin{\pi }+{\sqrt {3}}\cos {\pi }=-{\sqrt {3}}\ldots Konkavbogen$

Skizze

[Plot in Wolfram Alpha]

Lösungsvorschlag von mnemetz

Ich habe meinen Lösungsvorschlag mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 21:18, 23. Mär 2006 (CET)

Log der Verbesserungen

• Korrektur bei Nullstelle; wichtige Korrektur bei Wendepunkten! --Markus Nemetz 10:40, 30. Mär 2006 (CEST)
• Kleinere Ergänzungen. --Markus Nemetz 19:52, 28. Mär 2006 (CEST)
• Korrektur im Bereich Konvexivität. --Markus Nemetz 13:31, 27. Mär 2006 (CEST)
• Korrektur im Bereich Konvexivität. --Markus Nemetz 17:20, 25. Mär 2006 (CET)
• Es scheint noch einen Fehler bei den Extremwerten zu geben. f(-pi/6)= +2! daher Minimum. Für f(5pi/6)= -2 daher Maximum. Ich denke mnemetz hat das Minus vor der Ableitung vergessen! lG leiwand

Links

• Diskussion im Informatik-Forum SS2010

Quelle

Panholzer Beispielsammlung WS05 / SS06 Beispiel 436