TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 35

Man finde alle Lösungen der Differenzengleichung

(a) $4x_{n+1}-5x_n+1=0$ ($n\ge 0$),

(b) $x_{n+1}-x_n-6=0$ ($n\ge 0$).

Hilfreiches

Lineare Differenzengleichung erste Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Lineare Differenzengleichung erste Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Für die lineare Differenzengleichung erster Ordnung

$x_{n+1}=a{x}_n+b$, $n=0,1,2,\dots$

gilt, wenn $a$ und $b$ konstant sind,

$x_n=a^n{x}_0+(1+a+\dots +a^{n-1})b=\{\begin{array}{cc}{a}^n{x}_0+b\frac{a^n-1}{a-1}& \text{ für }a\ne 1\\ x_0+bn& \text{ für }a=1\end{array}$.

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$x_{n+1}=\frac{5}{4}{x}_n-\frac{1}{4}\Rightarrow a=\frac{5}{4},b=-\frac{1}{4}$

Einsetzen in die erste Formel, da $a\ne 1$:

$\begin{array}{cc}{\left(\frac{5}{4}\right)}^n{x}_0-\frac{1}{4}\cdot \frac{{\left(\frac{5}{4}\right)}^n-1}{\frac{5}{4}-1}& ={\left(\frac{5}{4}\right)}^n{x}_0-\frac{{\left(\frac{5}{4}\right)}^n-1}{4\cdot (\frac{5}{4}-\frac{4}{4})}\\ & ={\left(\frac{5}{4}\right)}^n{x}_0-\frac{{\left(\frac{5}{4}\right)}^n-1}{4\cdot \frac{1}{4}}\\ & ={\left(\frac{5}{4}\right)}^n{x}_0-{\left(\frac{5}{4}\right)}^n+1\\ & ={\left(\frac{5}{4}\right)}^n\underset{c}{\underbrace{(x_0-1)}}+1\end{array}$

Beispiel (b)

$x_{n+1}=x_n+6\Rightarrow a=1,b=6$

Einsetzen in die zweite Formel, da $a=1$:

$x_n=\underset{c}{\underbrace{x_0}}+6n$

edit kagomes: Hier wurde die Angabe der Partikulären Lösungen zur Anfangsbedingung $x_0=4$ vergessen.

Hierbei wird lediglich 4 für $x_0$ eingesetzt und damit $x_1$ berrechnet.

a) $x_n^{(p)}={\left(\frac{5}{4}\right)}^{n}3+1$ durch einsetzten erhällt man $x_1=\left(\frac{19}{4}\right)$

b) $x_n^{(p)}=4+6n$ durch einsetzten erhällt man $x_1=10$

das ausrechnen der Partikulären Lösung kann als Kontrolle dienen z.B für die zweite Aufgabe bekommt man für$x_1=4+6\ast 1=10$ heraus und einsetzen in die ursprüngliche Gleichung ergibt 10 - 4 -6=0 also eine wahre Aussage.

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 138 (ähnliches Beispiel)