TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 35

Man finde alle Lösungen der Differenzengleichung

(a) $4x_{n+1}-5x_{n}+1=0$ ($n\geq 0$),

(b) $x_{n+1}-x_{n}-6=0$ ($n\geq 0$).

Hilfreiches

Lineare Differenzengleichung erste Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Lineare Differenzengleichung erste Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Für die lineare Differenzengleichung erster Ordnung

$x_{n+1}=ax_{n}+b$, $n=0,1,2,\dots$

gilt, wenn $a$ und $b$ konstant sind,

$x_{n}=a^{n}x_{0}+(1+a+\dots +a^{n-1})b={\begin{cases}a^{n}x_{0}+b{\frac {a^{n}-1}{a-1}}&{\text{ für }}a\neq 1\\x_{0}+bn&{\text{ für }}a=1\end{cases}}$.

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$x_{n+1}={\frac {5}{4}}x_{n}-{\frac {1}{4}}\Rightarrow a={\frac {5}{4}},b=-{\frac {1}{4}}$

Einsetzen in die erste Formel, da $a\neq 1$:

${\begin{aligned}\left({\frac {5}{4}}\right)^{n}x_{0}-{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {\left({\frac {5}{4}}\right)^{n}-1}{{\frac {5}{4}}-1}}&=\left({\frac {5}{4}}\right)^{n}x_{0}-{\frac {\left({\frac {5}{4}}\right)^{n}-1}{4\cdot \left({\frac {5}{4}}-{\frac {4}{4}}\right)}}\\&=\left({\frac {5}{4}}\right)^{n}x_{0}-{\frac {\left({\frac {5}{4}}\right)^{n}-1}{4\cdot {\frac {1}{4}}}}\\&=\left({\frac {5}{4}}\right)^{n}x_{0}-\left({\frac {5}{4}}\right)^{n}+1\\&=\left({\frac {5}{4}}\right)^{n}\underbrace {\left(x_{0}-1\right)} _{c}+1\end{aligned}}$

Beispiel (b)

$x_{n+1}=x_{n}+6\Rightarrow a=1,b=6$

Einsetzen in die zweite Formel, da $a=1$:

$x_{n}=\underbrace {x_{0}} _{c}+6n$

edit kagomes: Hier wurde die Angabe der Partikulären Lösungen zur Anfangsbedingung $x_{0}=4$ vergessen.

Hierbei wird lediglich 4 für $x_{0}$ eingesetzt und damit $x_{1}$ berrechnet.

a) $x_{n}^{(p)}=\left({\frac {5}{4}}\right)^{n}3+1$ durch einsetzten erhällt man $x_{1}=\left({\frac {19}{4}}\right)$

b) $x_{n}^{(p)}=4+6n$ durch einsetzten erhällt man $x_{1}=10$

das ausrechnen der Partikulären Lösung kann als Kontrolle dienen z.B für die zweite Aufgabe bekommt man für$x_{1}=4+6*1=10$ heraus und einsetzen in die ursprüngliche Gleichung ergibt 10 - 4 -6=0 also eine wahre Aussage.

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 138 (ähnliches Beispiel)