TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 36

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differenzengleichung

$x_{n+1}=\frac{2}{3}{x}_n+1$ (für $n\ge 0$)

und die partikuläre Lösung, die der Anfangsbedingung $x_0=3$ genügt.

Hilfreiches

Lineare Differenzengleichung erste Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Lineare Differenzengleichung erste Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Für die lineare Differenzengleichung erster Ordnung

$x_{n+1}=a{x}_n+b$, $n=0,1,2,\dots$

gilt, wenn $a$ und $b$ konstant sind,

$x_n=a^n{x}_0+(1+a+\dots +a^{n-1})b=\{\begin{array}{cc}{a}^n{x}_0+b\frac{a^n-1}{a-1}& \text{ für }a\ne 1\\ x_0+bn& \text{ für }a=1\end{array}$.

Lösungsvorschlag

$x_{n+1}=\frac{2}{3}{x}_n+1\Rightarrow a=\frac{2}{3},b=1$

Einsetzen in die erste Formel, da $a\ne 1$:

$\begin{array}{cc}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n{x}_0+1\cdot \frac{{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-1}{\frac{2}{3}-1}& ={\left(\frac{2}{3}\right)}^n{x}_0+\frac{{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-1}{-\frac{1}{3}}\\ & ={\left(\frac{2}{3}\right)}^n{x}_0-3({\left(\frac{2}{3}\right)}^n-1)\\ & ={\left(\frac{2}{3}\right)}^n{x}_0-3{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+3\\ & ={\left(\frac{2}{3}\right)}^n\underset{c}{\underbrace{(x_0-3)}}+3\end{array}$

Lösung zum Startwert $x_0=3$ ($n=0$):

${\left(\frac{2}{3}\right)}^0\cdot c+3=3\Rightarrow c=0$

Partikuläre Lösung:

$x_n={\left(\frac{2}{3}\right)}^n\cdot 0+3=3$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differenzengleichungen 1 (ähnliches Beispiel)