TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 36

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Man bestimme die allgemeine Lösung der Differenzengleichung

x_{n+1} = \frac{2}{3}x_n + 1 (für n \geq 0)

und die partikuläre Lösung, die der Anfangsbedingung x_0 = 3 genügt.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Lineare Differenzengleichung erste Ordnung mit konstanten Koeffizienten[Bearbeiten]

Für die lineare Differenzengleichung erster Ordnung

x_{n+1} = ax_n + b, n=0,1,2,\dots

gilt, wenn a und b konstant sind,

x_n = a^nx_0 + (1 + a + \dots + a^{n-1})b =
\begin{cases}
a^nx_0 + b \frac{a^n-1}{a-1} & \text{ für } a \neq 1\\
x_0 + bn & \text{ für } a = 1
\end{cases}
.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

x_{n+1} = \frac{2}{3}x_n + 1 \Rightarrow a=\frac{2}{3}, b=1


Einsetzen in die erste Formel, da a \neq 1:

\begin{align}
\left(\frac{2}{3} \right)^nx_0 + 1 \cdot \frac{\left(\frac{2}{3} \right)^n-1}{\frac{2}{3} -1}
&= \left(\frac{2}{3} \right)^nx_0 + \frac{\left(\frac{2}{3} \right)^n-1}{-\frac{1}{3}} \\
&= \left(\frac{2}{3} \right)^nx_0 - 3 \left( \left(\frac{2}{3} \right)^n-1 \right) \\
&= \left(\frac{2}{3} \right)^nx_0 - 3 \left(\frac{2}{3} \right)^n + 3 \\
&= \left(\frac{2}{3} \right)^n \underbrace{\left( x_0-3 \right)}_c + 3
\end{align}


Lösung zum Startwert x_0=3 (n=0):

\left(\frac{2}{3} \right)^0 \cdot c + 3 = 3 \Rightarrow c = 0


Partikuläre Lösung:

x_n = \left(\frac{2}{3} \right)^n \cdot 0 + 3 = 3

Links[Bearbeiten]