TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 36

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differenzengleichung

$x_{n+1}={\frac {2}{3}}x_{n}+1$ (für $n\geq 0$)

und die partikuläre Lösung, die der Anfangsbedingung $x_{0}=3$ genügt.

Hilfreiches

Lineare Differenzengleichung erste Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Lineare Differenzengleichung erste Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Für die lineare Differenzengleichung erster Ordnung

$x_{n+1}=ax_{n}+b$, $n=0,1,2,\dots$

gilt, wenn $a$ und $b$ konstant sind,

$x_{n}=a^{n}x_{0}+(1+a+\dots +a^{n-1})b={\begin{cases}a^{n}x_{0}+b{\frac {a^{n}-1}{a-1}}&{\text{ für }}a\neq 1\\x_{0}+bn&{\text{ für }}a=1\end{cases}}$.

Lösungsvorschlag

$x_{n+1}={\frac {2}{3}}x_{n}+1\Rightarrow a={\frac {2}{3}},b=1$

Einsetzen in die erste Formel, da $a\neq 1$:

${\begin{aligned}\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}x_{0}+1\cdot {\frac {\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}-1}{{\frac {2}{3}}-1}}&=\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}x_{0}+{\frac {\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}-1}{-{\frac {1}{3}}}}\\&=\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}x_{0}-3\left(\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}-1\right)\\&=\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}x_{0}-3\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}+3\\&=\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}\underbrace {\left(x_{0}-3\right)} _{c}+3\end{aligned}}$

Lösung zum Startwert $x_{0}=3$ ($n=0$):

$\left({\frac {2}{3}}\right)^{0}\cdot c+3=3\Rightarrow c=0$

Partikuläre Lösung:

$x_{n}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}\cdot 0+3=3$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differenzengleichungen 1 (ähnliches Beispiel)