TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 207

Zeigen Sie: Falls $f(t)$ eine gerade Funktion ist, dann kann die Fouriertransformierte $F(\omega )$ von $f(t)$ durch

$F(\omega )=2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)\cos (\omega t)dt$

berechnet werden.

Dieses Beispiel ist als Datei markiert. Ist dies falsch oder ungenau? Aktualisiere den Lösungsstatus (Details: Vorlage:Beispiel)

Hilfreiches

Gerade und ungerade Funktion

Gerade und ungerade Funktion

Eine Funktion

• heißt gerade, falls $f(-x)=f(x)$. Anschaulich ist so eine Funktion an der y-Achse gespiegelt, Beispiel: Kosinus.
• heißt ungerade, falls $f(-x)=-f(x)$. Anschaulich ist so eine Funktion an der einen und dann an der anderen Achse gespiegelt, Beispiel: Sinus.

Integrationsgrenzen

Integrationsgrenzen

Regeln für Integrationsgrenzen

${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x$ ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_{-a}^{-b}f(-x)\mathrm{d}x$

Oft nützlich, wenn man es mit ungeraden/geraden Funktionen zu tun hat.

Eulerformel und Winkelfunktionen

Eulerformel und Winkelfunktionen

Eulersche Formel

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$

(wobei $\phi \in ℂ$, außerdem wenn $\phi =\pi$ dann kommt die s.g. Eulersche Identität raus: $e^{i\pi }+1=0$)

Davon abgeleitet, wenn man jeweils versucht den Realteil oder den Imaginärteil zu erhalten (Addieren/Subtrahieren mit Fall $-\phi$ und dabei bedenken, dass Kosinus gerade und Sinus ungerade ist):

$\cos \phi =\frac{e^{i\phi }+e^{-i\phi }}{2}$

$\sin \phi =\frac{e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}$

Lösung

• Mein Lösungsvorschlag als PDF (LaTeX-Source). --Markus Nemetz 20:08, 13. Jan 2007 (CET)

Websites

• Neuer Thread aus dem Infotmatik-Forum --Markus Nemetz 20:09, 13. Jan 2007 (CET)
• Älterer Thread im Informatik-Forum --Markus Nemetz 20:13, 15. Dez 2006 (CET)
  • Erwähntes Hanser-PDF in neuem, gültigen Link --Markus Nemetz 20:13, 15. Dez 2006 (CET)

Quelle: WS 05 Gittenberger Bsp. 85, WS 06 Panholzer Bsp. 63