TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 207

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Zeigen Sie: Falls f(t) eine gerade Funktion ist, dann kann die Fouriertransformierte F(\omega) von f(t) durch

F(\omega) = 2 \int_0^\infty f(t) \cos(\omega t) \, dt

berechnet werden.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Gerade und ungerade Funktion[Bearbeiten]

Eine Funktion

  • heißt gerade, falls f(-x) = f(x), anschaulich ist so eine Funktion die y-Achse gespiegelt, Beispiel: Kosinus.
  • heißt ungerade, falls f(-x) = -f(x), anschaulich ist so eine Funktion um die eine und dann die andere Achse gespiegelt, Beispiel: Sinus.
Integrationsgrenzen[Bearbeiten]

Regeln für Integrationsgrenzen

\int_a^b f(x) \,\mathrm dx = - \int_b^a f(x) \,\mathrm dx
\int_a^b f(x) \,\mathrm dx = - \int_{-a}^{-b} f(-x) \,\mathrm dx

Oft nützlich, wenn man es mit ungeraden/geraden Funktionen zu tun hat.

Eulerformel und Winkelfunktionen[Bearbeiten]

Eulersche Formel

e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi

(wobei \varphi \in \C, außerdem wenn \varphi = \pi dann kommt die s.g. Eulersche Identität raus: e^{i\pi} + 1 = 0)

Davon abgeleitet, wenn man jeweils versucht den Realteil oder den Imaginärteil zu erhalten (Addieren/Subtrahieren mit Fall -\varphi und dabei bedenken, dass Kosinus gerade und Sinus ungerade ist):

\cos \varphi = \frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2}
\sin \varphi = \frac{e^{i\varphi} - e^{-i\varphi}}{2i}

Lösung[Bearbeiten]

Websites[Bearbeiten]

Quelle: WS 05 Gittenberger Bsp. 85, WS 06 Panholzer Bsp. 63