Zeigen Sie: Falls $f(t)$ eine gerade Funktion ist, dann kann die Fouriertransformierte $F(\omega )$ von $f(t)$ durch
$F(\omega )=2\int _{0}^{\infty }f(t)\cos(\omega t)\,dt$
berechnet werden.

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gerade und ungerade Funktion

Gerade und ungerade Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion

heißt gerade, falls $f(-x)=f(x)$ . Anschaulich ist so eine Funktion an der y-Achse gespiegelt, Beispiel: Kosinus.
heißt ungerade, falls $f(-x)=-f(x)$ . Anschaulich ist so eine Funktion an der einen und dann an der anderen Achse gespiegelt, Beispiel: Sinus.

Integrationsgrenzen

Integrationsgrenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Regeln für Integrationsgrenzen

\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{b}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x

\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{-a}^{-b}f(-x)\,\mathrm {d} x

Oft nützlich, wenn man es mit ungeraden/geraden Funktionen zu tun hat.

Eulerformel und Winkelfunktionen

Eulerformel und Winkelfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eulersche Formel

e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi

(wobei $\varphi \in \mathbb {C}$ , außerdem wenn $\varphi =\pi$ dann kommt die s.g. Eulersche Identität raus: $e^{i\pi }+1=0$ )

Davon abgeleitet, wenn man jeweils versucht den Realteil oder den Imaginärteil zu erhalten (Addieren/Subtrahieren mit Fall $-\varphi$ und dabei bedenken, dass Kosinus gerade und Sinus ungerade ist):