TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 153

Man zeige, dass die Exponentialfunktionen $\{e^{ikt}|k\in \mathbb {Z} \}$ ein Orthogonalsystem im $\mathbb {C}$-Vektorraum der komplexwertigen $2\pi$-periodischen Funktionen bilden, d.h.

$\langle e^{ikt},e^{ilt}\rangle =\int _{0}^{2\pi }e^{ikt}{\overline {e^{ilt}}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{2\pi }e^{ikt}e^{-ilt}\,\mathrm {d} t={\begin{cases}0&k\neq l\\2\pi &k=l\end{cases}}$

und leite daraus die Orthogonalität von $\cos(mt)$ und $\sin(nt)$ für alle $m,n\in \mathbb {N}$ her, d.h.

$\langle \cos mt,\sin nt\rangle =\int _{0}^{2\pi }\cos mt\sin nt\,\mathrm {d} t=0$

.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Gerade und ungerade Funktion

Gerade und ungerade Funktion

Eine Funktion

• heißt gerade, falls $f(-x)=f(x)$. Anschaulich ist so eine Funktion an der y-Achse gespiegelt, Beispiel: Kosinus.
• heißt ungerade, falls $f(-x)=-f(x)$. Anschaulich ist so eine Funktion an der einen und dann an der anderen Achse gespiegelt, Beispiel: Sinus.

$\cos(-x)=\cos(x)$

$\sin(-x)=-\sin(x)$

Lösungsvorschlag

Für den Fall $k=l$ gilt folgendes:

$\int _{0}^{2\pi }e^{ikt}e^{-ilt}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{2\pi }1\,\mathrm {d} t=2\pi$

Für den Fall $k\neq l$ gilt folgendes:

${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }e^{ikt}e^{-ilt}\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{2\pi }e^{i(k-l)t}\,\mathrm {d} t\\&=\left.{\frac {e^{i(k-l)t}}{i(k-l)}}\right|_{0}^{2\pi }\\&={\frac {1}{i(k-l)}}\left(\underbrace {e^{i(k-l)2\pi }} _{=1}-\underbrace {e^{i(k-l)0}} _{=1}\right)\\&=0\end{aligned}}$

Daraus kann man nun folgendes ableiten:

sowie

Der jeweilige Vergleich der Imaginärteile liefert:

$0=\int _{0}^{2\pi }\left(\cos(mt)\sin(nt)+\cos(nt)\sin(mt)\right)\,\mathrm {d} t$

$0=\int _{0}^{2\pi }\left(\cos(mt)\sin(nt)-\cos(nt)\sin(mt)\right)\,\mathrm {d} t$

Durch Addition bzw. Subtraktion erhält man:

$\int _{0}^{2\pi }\cos(mt)\sin(nt)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{2\pi }\cos(nt)\sin(mt)\,\mathrm {d} t=0$

Hinweis: Das gilt sowohl für $n\neq m$, als auch für $n=m$, weil $\Im \left(e^{int}e^{imt}\right)=0$ für alle $m,n\in \mathbb {N}$ gilt ($\Im$= Imaginärteil).