TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Levajkovic)/Übungen 2022W/HW04.5

Generating random numbers from a Weibull distribution

The cumulative distribution function of a random variable $X\sim Weibull(k,\lambda )$ is given by

$${\begin{aligned}F_{X}(x)={\begin{cases}1-e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}},&x\geq 0\\0,&x<1\end{cases}},\end{aligned}}$$

Example 4.4 shows that if $U\sim {\mathcal {U}}(0,1)$, then $X=F^{-1}(u)$ generates a random number $X$ from any continuous distribution with the specified cdf $F$. This gives us the following algorithm to generate random numbers from a random variable $X$ with the given cdf $F$.

Algorithm: Inversion method

1° compute the inverse $F^{-1}$ of $F$

2° generate </math>n</math> independent random numbers $u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}$ from ${\mathcal {U}}(0,1)$

3° compute $x_{1}=F^{-1}(u_{1}),x_{2}=F^{-1}(u_{2}),\dots ,x_{n}=F^{-1}(u_{n}).$

Then, $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ are independent random observations of the random variable $X$.

In R, generate 30 observations from a random variable $X$ with the $Weibull(2,1)$ by applying the inversion method.

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Lösung von Tutorin

The cdf $F:\mathbb {R} \rightarrow (0,1)$ is continuous and increasing function, and therefore $F^{-1}(y)={\sqrt {-ln(1-y)}}$ for the $Weibull(2,1)$-distribution (with the parameters $k=1$ and $\lambda =2$). Then we generate 30 random numbers from ${\mathcal {U}}(0,1)$ distribution, and finally, apply the function inverseF on the generated 30 random uniform numbers.

set.seet(2022)

# Define inverse function
inverseF <- function(y) {(-log (1-y))^(0.5)}

# Simulate 30 uniform observations
u <- runif(30)

# Compute the inverse (generating 30 random numbers from the Weibull (2,1) distribution)
inverseF(U)

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