TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Levajkovic)/Übungen 2022W/HW09.1

Distribution of the $p$-value

In the context of a left-sided statistical test, let $S$ be the test statistic which under $H_{0}$ has a continuous and strictly monotone distribution function $F$. Then the $p$-value writes as

$$p=\mathbb {P} _{H_{0}}(S\leq s)F(s)$$

Note that this is the evaluation of the data summarized in the statistic $s$. THe question arises of 'how the random p-value' is distributed, i.e., if the random test statistic $S$ is evaluated. In other words, what the distribution of $P=F(S)$ under $H_{0}$?

Note that this distribution is the same for right-sided tests, and also for two-sided tests if $F$ is symmetric around zero, i.e., $F(-x)=1-F(x)$ for all $x\in \mathbb {R}$.

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Lösung von Tutorin

Left-sided test:

We test $H_{0}:\theta =\theta _{0}$ against $\theta <\theta _{0}$. Let $S$ be the test statistic, whose distribution is given via the cdf $F$ (continuous, invertible, differentiable). Let $s$ be the value of the $S$-statistics computed from the data set. Then, the $p$-value in this case is

$$p-{\text{value}}=\mathbb {P} _{H_{0}}(S\leq s).$$

For different samples we obtain different values $s$. Thus, the distribution of the $p$-value (as random variable) is uniform, i.e., $P{\overset {\underset {H_{0}}{}}{\sim }}{\mathcal {U}}(0,1)$, because of $u\in (0,1)$ we find (using that $F$ is invertible)

$$\mathbb {P} _{H_{0}}(P\leq u)=\mathbb {P} _{H_{0}}(F(s)\leq u)=\mathbb {P} _{H_{0}}(S\leq F^{-1}(u))=F(F^{-1}(u))=u.$$

Also, for $u\leq 0$ the probability is $\mathbb {P} _{H_{0}}(P\leq u)=0$ as well as for $u\geq 1$ the probability is $\mathbb {P} _{H_{0}}(P\leq u)=1$. Alltogether, these lead to the cdf of the uniform distribution on (0,1).

For completeness:

right-sided: $P=1-F(S)$

$${\begin{aligned}\mathbb {P} _{H_{0}}(P\leq u)&=\mathbb {P} _{H_{0}}(1-F(S)\leq u)\\&=\mathbb {P} _{H_{0}}(F(S)\geq 1-u)\\&=P_{H_{0}}(S\geq F^{-1}(1-u))\\&=1-\mathbb {P} _{H_{0}}(S\leq F^{-1}(1-u))\\&=1-F(F^{-1}(1-u))=u\\\end{aligned}}$$

two-sided: $P=2F(-|S|)$

$${\begin{aligned}\mathbb {P} _{H_{0}}(P\leq u)&=\mathbb {P} _{H_{0}}(2F(-|S|)\leq u)\\&=\mathbb {P} _{H_{0}}(-|S|\leq F^{-1}(u/2))\\&=2\mathbb {P} _{H_{0}}(S\leq F^{-1}(u/2))\\&=2F(F^{-1}(u/2))=u\end{aligned}}$$

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