TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Levajkovic)/Übungen 2022W/HW11.3

${\mathcal {X}}^{2}$-test for independence (without R)

100 students from major computer science of three Viennese Universities were randomly chosen and asked which lecture of mathematics (a: calculus, b: algebra, c: probability) they enjoyed most. The frequencies are given in the following table: (Note: table #1 below)

Perform a ${\mathcal {X}}^{2}$-test to test whether the preference for a lecture is independent from the university, on a 5% significance level. Only use the following table which gives the 95%−quantile $q$ of the ${\mathcal {X}}^{2}$-distribution with $df$ degrees of freedom. (Note: table #2 below)

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{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

table #1

	Uni A	Uni B	Uni C
calculus	10	5	5
algebra	10	20	10
probability	20	5

table #2

$df$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$q$	3.84	5.99	7.81	9.49	11.07	12.59	14.07	15.51	16.92

Lösung von Tutorin

The missing value is 15 ($\rightarrow \sum =100$).

The marginal frequencies are

	Uni A	Uni B	Uni C
calculus	10	5	5	20
algebra	10	20	10	40
probability	20	5	15	40
	40	30	30	100

The (estimated) expected frequencies under $H_{0}$

	Uni A	Uni B	Uni C
calculus	8	6	6	20
algebra	16	12	12	40
probability	16	12	12	40
	40	30	30	100

Thus, the ${\mathcal {X}}^{2}$-statistic is

$${\begin{aligned}x^{2}&=4/8+1/6+1/6+36/16+64/12+4/12+16/16+49/12+9/12\\&=8/16+2/12+2/12+36/16+64/12+4/12+16/16+49/12+9/12\\&=60/16+130/12\\&=(3+12/16)+(10.5+4/12)=3.75+10.8{\bar {3}}=14.58{\bar {3}}\\\end{aligned}}$$

Compare $x^{2}$ with the ${\mathcal {X}}^{2}(4)$-distribution. $x^{2}>9.49$. Thus we reject $H_{0}$ with $\alpha =5\%$.

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== Lösungsvorschlag von ~~~ ==
--~~~~

Siehe auch Hilfe:Formeln und Hilfe:Beispielseiten.