TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Levajkovic)/Übungen 2022W/HW11.5

${\mathcal {X}}^{2}$-statistics

In the situation of the ${\mathcal {X}}^{2}$-tests (both goodness of fit and test for independence) what happens to the test statistic if in each cell the observed frequencies are doubled?

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösung von Tutorin

The statistics is also doubled (not squared).

Goodness of fit:

Assume $d$ categories with stated probabilities ($H_{0}$) as $p_{0}=(p_{0,1},\dots ,p_{0,d})^{t}$. Assume $n$ obervations. Then the ${\mathcal {X}}^{2}$-statistics is

$$x^{2}=\sum _{k=1}^{d}{\frac {(x_{k}-n\cdot p_{0,k})^{2}}{n\cdot p_{0,k}}}.$$

Doubling the frequences in each cell, i.e., going from $x_{k}$ to $2x_{k}$, results in a total number of obersavtions $2n$ and the statistics

$$x_{double}^{2}=\sum _{k=1}^{d}{\frac {(2x_{k}-2n\cdot p_{0,k})^{2}}{2n\cdot p_{0,k}}}={\frac {4}{2}}\sum _{k=1}^{d}{\frac {(x_{k}-n\cdot p_{0,k})^{2}}{n\cdot p_{0,k}}}=2x^{2}.$$

Independence:

Let $x_{j,\cdot }$ denote the row sums and $x_{\cdot ,k}$ the column sum. Then, the $chi^{2}$-statistics writes as

$$x^{2}=\sum _{j,k}{\frac {(x_{j,k}-{\frac {x_{\cdot ,k}\cdot x_{j,\cdot }}{n}})^{2}}{\frac {x_{\cdot ,k}\cdot x_{j,\cdot }}{n}}}.$$

By doubling, the observed frequences $x_{j,k}$ become $2x_{j,k}$. Also, all marginal frequences double, i.e., became $x_{j,.}$, $2x\cdot$, $k$ and $2n$ such that

$$x_{doubled}^{2}=\sum _{j,k}{\frac {(2x_{j,k}-{\frac {2x_{\cdot ,k}\cdot 2x_{j,\cdot }}{2n}})^{2}}{\frac {2x_{\cdot ,k}\cdot 2x_{j,\cdot }}{2n}}}={\frac {4}{2}}\sum _{j,k}{\frac {(x_{j,k}-{\frac {x_{\cdot ,k}\cdot x_{j,\cdot }}{n}})^{2}}{\frac {x_{\cdot ,k}\cdot x_{j,\cdot }}{n}}}=2x^{2}.$$

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== Lösungsvorschlag von ~~~ ==
--~~~~

Siehe auch Hilfe:Formeln und Hilfe:Beispielseiten.