TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Levajkovic)/Übungen 2022W/HW12.1

Regression

A lecture was evaluated. In the file Evaluation.Rdata you find data of ${\textstyle n=25}$ students. Acquired were first, the points achieved in the associated exercises (between 0 and 200 possible), and second, the result of the exam (in %).

(1) Can the result of the exam be explained by the points achieved in the exercises?

(a) Plot the result of the exam (${\textstyle y_{i}}$) against the exercise points (${\textstyle x_{i}}$). Do you observe a relation?

(b) Compute the intercept ${\textstyle b_{0}}$ and the slope ${\textstyle b_{1}}$ of the regression line (without lm()) and plot the regression line. Comment on the meaning of the slope.

(c) Would you say that the relation is causal? This means, that e.g., many points in the exercises are the reason for a good exam?

(2) Assume now the linear regression model ${\textstyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\sigma Z_{i},i=1,\dots ,n}$ with ${\textstyle Z_{1},\dots ,Z_{n}}$ i.i.d. with ${\textstyle Z_{1}\sim N(0,1)}$, and ${\textstyle (\beta _{0},\beta _{1},\sigma _{2})\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}}$. Test the null hypothesis ${\textstyle H_{0}:\beta _{1}=0}$ against ${\textstyle H_{A}:\beta _{1}\neq 0}$ at a significance level of 5%. Without using R, compute

(a) the standard error of the regression ${\textstyle s_{r}}$,

(b) the standard error ${\textstyle se_{b_{1}}}$ of the slope ${\textstyle \beta _{1}}$,

(c) the value of the $t$-statistic,

(d) the $t$-distribution associated with ${\textstyle H_{0}}$, and

(e) the $p$-value.

(f) Formulate a result.

(g) Fit the data to the model using the command lm(). Read the outcome of the test

of the null hypothesis ${\textstyle H_{0}:\beta _{1}=0}$ from the output of summary()

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Hilfreiche Tipps

Das Beispiel setzt sich aus drei Beispielen aus einem vorherigen Semester zusammen:

• Für die Unteraufgabe (1) gibt es hier eine Lösung: Übungen 2020W - HW 11.4.
• Für die Unteraufgabe (1.a) bis (1.f) gibt es hier eine Lösung: Übungen 2020W - HW 11.5.
• Für die Unteraufgabe (1.g) gibt es hier eine Lösung: Übungen 2020W - HW 11.6.

-- Simplex 20:49, 9. Jan. 2023 (CET)