TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 63

Die Wahrscheinlichkeit, das ein Brennelement in einem Kernreaktor den Bedingungen einer Qualitätsprüfung nicht genügt, beträgt 0.02%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

• a) höchstens 2 von 5000
• b) genau eines von 1000
• c) keines von 100

dieser Brennelemente die Qualitätsbedingung nicht erfüllen?

Hilfreiches

Poissonverteilung

Poissonverteilung

"Verteilung der seltenen Ereignisse".

Sie nähert, wenn ein großes $n$ und ein kleines $p$ vorliegt, die Binomialverteilung sehr gut an. (Faustregel: $p<.1$ und $n>50$.) In diesem Fall ist $\lambda =n\cdot p$.

$\begin{array}{cc}\lambda =& g\cdot w\dots \text{“Parameter” der Verteilung, glz. auch Erwartungswert und Varianz}\\ & g\dots \text{Ereignisrate}\\ & w\dots \text{Beobachtungsintervall}\\ \end{array}$

$W(\{i\})=\frac{{\lambda }^i\cdot e^{-\lambda }}{i!}$

(anm.: in der VO wird $\mu$ statt $\lambda$ verwendet.)

Wikipedia

Lösungsvorschlag von Thomas

Wir verwenden hier wieder Poissonverteilung. Großes $n$, kleines $p$.

$X=$ Anzahl der Brennelemente für welche die Bedingung der Qualitätsprüfung nicht genügt

a)

$\begin{array}{cc}p& =0.0002\\ n& =5000\\ \lambda & =np=1\end{array}$

$\begin{array}{ccc}P(X\le 2)& =& \sum _{i=0}^2\frac{{\lambda }^i}{i!}{e}^{-\lambda }\\ \\ & =& (1+1+\frac{1}{2})e^{-1}\\ \\ & =& 2.5\cdot e^{-1}\\ \\ & \approx & 0.9197\end{array}$

ist nichts anderes als $P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

b)

$n=1000$
$\lambda =1000\cdot 0.0002=0.2$

$P(X=1)=p_1=\frac{0.2^1}{1!}\cdot e^{-0.2}\approx 0.1638$

c)

$n=100$
$\lambda =100\cdot 0.0002=0.02$

$P(X=0)=p_0=1\cdot e^{-0.02}\approx 0.9802$

Anmerkungen

bin ein bisschen unsicher, aber die wahrscheinlichkeitswerte wirken sinnhaft. --Thomarsch 19:49, 27. Apr. 2009 (CEST)
Kann die Werte bestätigen ;) --ParanoidAndroid

Lösung von ParanoidAndroid

Binomial- vs. Poissonverteilung: Beispiel 63