TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 63

Die Wahrscheinlichkeit, das ein Brennelement in einem Kernreaktor den Bedingungen einer Qualitätsprüfung nicht genügt, beträgt 0.02%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

• a) höchstens 2 von 5000
• b) genau eines von 1000
• c) keines von 100

dieser Brennelemente die Qualitätsbedingung nicht erfüllen?

Hilfreiches

Poissonverteilung

Poissonverteilung

"Verteilung der seltenen Ereignisse".

Sie nähert, wenn ein großes $n$ und ein kleines $p$ vorliegt, die Binomialverteilung sehr gut an. (Faustregel: $p<.1$ und $n>50$.) In diesem Fall ist $\lambda =n\cdot p$.

${\begin{aligned}\lambda =&g\cdot w\quad \ldots \ {\text{“Parameter” der Verteilung, glz. auch Erwartungswert und Varianz}}\\&g\ldots \ {\text{Ereignisrate}}\\&w\ldots \ {\text{Beobachtungsintervall}}\\\end{aligned}}$

$W(\{i\})={\dfrac {\lambda ^{i}\cdot e^{-\lambda }}{i!}}$

(anm.: in der VO wird $\mu$ statt $\lambda$ verwendet.)

Wikipedia

Lösungsvorschlag von Thomas

Wir verwenden hier wieder Poissonverteilung. Großes $n$, kleines $p$.

$X=$ Anzahl der Brennelemente für welche die Bedingung der Qualitätsprüfung nicht genügt

a)

${\begin{aligned}p&=0.0002\\n&=5000\\\lambda &=np=1\end{aligned}}$

${\begin{array}{lcl}P(X\leq 2)&=&\sum _{i=0}^{2}{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}e^{-\lambda }\\\\&=&{\Bigl (}1+1+{\frac {1}{2}}{\Bigr )}e^{-1}\\\\&=&2.5\cdot e^{-1}\\\\&\approx &0.9197\end{array}}$

ist nichts anderes als $P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

b)

$n=1000$
$\lambda =1000\cdot 0.0002=0.2$

$P(X=1)=p_{1}={\frac {0.2^{1}}{1!}}\cdot e^{-0.2}\approx 0.1638$

c)

$n=100$
$\lambda =100\cdot 0.0002=0.02$

$P(X=0)=p_{0}=1\cdot e^{-0.02}\approx 0.9802$

Anmerkungen

bin ein bisschen unsicher, aber die wahrscheinlichkeitswerte wirken sinnhaft. --Thomarsch 19:49, 27. Apr. 2009 (CEST)
Kann die Werte bestätigen ;) --ParanoidAndroid

Lösung von ParanoidAndroid

Binomial- vs. Poissonverteilung: Beispiel 63