TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 61

An einer Tankstelle kommen zwischen 16.00 und 18.00 Uhr durchschnittlich 4 Fahrzeuge pro Minute an. Man gehe davon aus, dass die Anzahl $X$ der in einer Minute ankommenden Fahrzeuge poissonverteilt ist mit $\lambda =4$.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

a) kein Fahrzeug ankommt?

b) genau ein Fahrzeug ankommt?

c) mindestens vier Fahrzeuge ankommen?

Hilfreiches

Poissonverteilung

Poissonverteilung

"Verteilung der seltenen Ereignisse".

Sie nähert, wenn ein großes $n$ und ein kleines $p$ vorliegt, die Binomialverteilung sehr gut an. (Faustregel: $p<.1$ und $n>50$.) In diesem Fall ist $\lambda =n\cdot p$.

${\begin{aligned}\lambda =&g\cdot w\quad \ldots \ {\text{“Parameter” der Verteilung, glz. auch Erwartungswert und Varianz}}\\&g\ldots \ {\text{Ereignisrate}}\\&w\ldots \ {\text{Beobachtungsintervall}}\\\end{aligned}}$

$W(\{i\})={\dfrac {\lambda ^{i}\cdot e^{-\lambda }}{i!}}$

(anm.: in der VO wird $\mu$ statt $\lambda$ verwendet.)

Wikipedia

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$p_{0}={\frac {4^{0}}{0!}}\cdot e^{-4}=0.0183$

Beispiel (b)

$p_{1}={\frac {4^{1}}{1!}}\cdot e^{-4}=0.0733$

Beispiel (c)

$p(X\geq 4)=1-p(X\leq 3)=1-\sum _{i=0}^{3}{{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\cdot e^{-\lambda }}=1-e^{-4}\cdot (1+4+8+10.66)=0.5665$

--80.108.113.233 11:27, 24. Apr. 2009 (CEST)Gerros