TU Wien:Technische Grundlagen der Informatik VU (Kastner)/Kapitel Numerik

• 01 Zahlendarstellung
• 02 Numerik
• 03 Codierung
• 04 Informationstheorie
• 05 Boolesche Algebra
• 06 KV-Diagramme und BDD
• 07 Moore- & Mealy-AutomatenTGI+GDS

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• 08 Digitalschaltungen, KominatorikTGI
• 09 Sequentielle Logik
• 10 Speicher
• 14 Micro16
• 15 Befehlssatz
• 16 Pipelining
• 17 Speichermanagement
• 18 Chipsatz
• 19 Multi-Core
• 20 Netzwerke

Kombinatorik = Methoden zur Lösung mathematischer Problemstellungen auf Computern

Festpunktdarstellung

• $v$ Vorzeichen (0 = positiv, 1 = negativ)
• $g$ Vorkommastellen
• $n$ Nachkommastellen

Entspricht Skalierung der ganzen Zahl um Faktor $2^{-n}$.

• nur für rationale Zahlen ($\mathbb{Q}$)
• manche einfache rationale Zahlen können nicht genau dargestellt werden, z.B. $1/3$ oder $1/10$ binär
• Wenn das Ergebnis nicht darstellbar ist muss gerundet werden.

Gleitpunktdarstellung

Exponentialschreibweise

• $m\ast b^e$
  • $m$ ... Mantisse
  • $b$ ... Basis
  • $e$ ... Exponent
• Normalisierung: nur eine 1 vor dem Komma
• Wir gehen davon aus, dass:
  • Exponent ganzzahlig
  • Basis gerade und $\ge 2$
• Bei Addition und Subtraktion weniger handlich
• Bei Multiplikation und Division praktisch

Darstellung

• Format
  • $v$ Vorzeichen (0 = positiv, 1 = negativ)
  • $n$ Exponentenstellen
  • $p$ Mantissenstellen

Parameter: $FF(b,p,e_{min},e_{max},\text{denorm})$

• $b$ ... Basis (base, radix) ($b\ge 2$)
• $p$ ... Mantissenlänge (precision) ($p\ge 2$)
• $e_{min}$ ... kleinster Exponent
• $e_{max}$ ... größter Exponent
• $denorm$ ... enthält denormalisierte Zahlen? (true/false)

• normalisierte Zahl: $m_0=1$ und wird weggelassen (implizites erstes Bit)
• denormalisierte Zahl
  • Im IEEE 754 durch $e_{min}-1$ im Exponenten kodiert
  • erstes implizites Bit ist 0
  • Wert des Exponent ist $e_{min}$

Gesamtlänge $N=1+n+p$

IEEE 754

Exponent ist in Exzessdarstellung.

Format	Parameter
Single	$𝔽𝔽(2,24,-126,+127,\text{true})$
Double	$𝔽𝔽(2,53,-1022,+1023,\text{true})$

Für Single und Double ist der Exzess $e_{max}$.

Exponent	NkSt. der Mantisse	Wert
$e_{max}+1$	$\ne 0$	NaN
$e_{max}+1$	$=0$	$(-1{)}^v\ast \mathrm{\infty }$
$e_{min}-1$	$\ne 0$	$(-1{)}^v\ast 0.f\ast 2^{e_{min}}$
$e_{min}-1$	$=0$	$(-1{)}^v\ast 0$

• nicht assoziativ / distributiv
• aber kommutativ

converter calculator

Runden

• truncate, min, max
• Eigenschaften
  • Projektivität
  • Monotonie

Optimale Rundung

(round to nearest)

Guard, Round und Sticky bit

1. Wenn Guard Null ist runde nicht.
2. Wenn Guard Eins ist:
   1. und Round und/oder Sticky gesetzt sind $\Rightarrow +=1$
   2. Round und Sticky sind nicht gesetzt:
      • round to even $lsb=1\Rightarrow +=1$
      • round away from zero $\Rightarrow +=1$

Arithmetik

• Addition
  1. Exponenten angleichen (kleineren an den größeren)
  2. Mantissen addieren
  3. Normalisieren
  4. Runden