TU Wien Nav:Mathematik für Informatik (Buch)/3.2

Man zeige, dass die folgenden Eigenschaften in jedem Vektorraum $(V,+,K)$ gelten:
(a) $\lambda \cdot {\mathbf {0}}={\mathbf {0}}$
(b) $0\cdot v={\mathbf {0}}$
(c) $(-\lambda )\cdot v=-(\lambda \cdot v)$

(d) $\lambda (-v)=-(\lambda \cdot v)$

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Hilfreiches

Nullvektor

DerNullvektor eines Vektorraums ist der eindeutig bestimmte Vektor $0_{V}\in V$, für den

1. $v+0_{V}=0_{V}+v=v$
   

für alle Vektoren $v\in V$ gilt. Er ist damit das neutrale Element bezüglich der Vektoraddition.

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$