TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 447

From VoWi
Jump to navigation Jump to search

Bildet mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über

Hilfreiches[edit]

Vektorraum
Vektorraum[Bearbeiten, Wikipedia, 3.02 Definition]

Sei eine abelsche Gruppe und ein Körper. heißt Vektorraum, wenn folgendes gilt:

Gruppe
Gruppe[edit]

Eine Gruppe ist

  • abgeschlossen bzgl. der Operation in G,
  • assoziativ: ,
  • beinhaltet ein neutrales Element :
  • sowie inverse Elemente: .

Lösungansatz von superlufti[edit]

Soweit ich das Verstanden habe, sind Vektorräume die Verallgemeinerung des Vektor-Begriffs: Sprich Vektorräume sind so Definiert <V,+,K): wobei <V,+> ein kommutative Gruppe ist und K ein Körper, also oder

Zusätzlich müssen noch folgende Gesetze erfüllt sein:

für alle

und

für alle

ok, schaun wir uns mal an ob überhaupt eine kommutative gruppe ist,

Abgeschlossenheit
erfüllt weil das Ergebnis wieder einen Vektor liefert, egal welche Werte man für x und y einsetzt
Assoziativ

ist auch erfüllt, weil die Addition ja assoziativ ist und das zweite Element im Vektor immer auf 0 abgebildet wird. Sprich Gruppoid.
Neutrales Element
das bedeutet
x+e = x
ich glaube das neutrales Element nicht immer vorhanden
(x1,x2) + (e1,e2) = (e1,e2) + (x1,x2) = (x1,x2)
nur bei: (x1,0)+(0,n) = (x1,0)
(x1, x2)+(0,n) != (x1+0, 0)

Meine Schlussfolgerung wäre, das V keine kommutative Gruppe ist und deswegen die Operation keinen Vektorraum bildet.

Edited by Unreal:

Auch das folgende Gesetz ist nicht erfüllt:

Weil die nicht mit x ( (x1,x2) ) gleich ist

Andere Meinung[edit]

Die Lösung oben von superlufti und unreal ignoriert, das und gleich 0 sind.

Der Ausdruck mit Lambda in der Angabe muss bei der Feststellung, ob es sich um eine abelsche Gruppe handelt, berücksichtigt werden, weil er ja die Werte für x und y einschränkt. Damit gibt es ein neutrales Element und auch ist erfüllt. Es gibt für jedes Element ein inverses Element (jeweils der Vektor mit dem negativen oder oben ergibt den Nullvektor, das ist immer das neutrale Element in einem Vektorraum) und kommutativ ist es auch (man kann die beiden Vektoren vertauschen, selbes Ergebnis). V ist damit eine abelsche Gruppe.

Es handelt sich darüber hinaus auch um einen Vektorraum, da folgende Gesetze, die die Voraussetzung für einen Vektorraum darstellen, erfüllt sind:

i)

ii)

iii)

iv)

Edit, 10.12.18:

Nach Absprache mit einem Tutor: die angegebenen Operationen sind nur als ebensolche zu deuten, und nicht als Begrenzungen für die Werte von . Der Lösungsansatz von superlufti und unreal passt.

Kommentar[edit]

iv) kann nicht gültig sein am Beispiel: für

und ist somit nicht erfüllt.

Links[edit]