TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 447

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Bildet \mathbb{R}^2 mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über \mathbb{R}

(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,0),  \lambda(x_1,x_2)=(\lambda*x_1,0)

Hilfreiches[Bearbeiten]

Vektorraum
Vektorraum[Bearbeiten, WP, 3.02 Definition]

Sei (V,+) eine abelsche Gruppe und K ein Körper. (V,+,K) heißt Vektorraum, wenn  \forall \vec{x} , \vec{y} \in V, \forall \lambda, \mu \in K folgendes gilt:

  1. \lambda \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = \lambda  \vec{x} + \lambda  \vec{y}
  2. (\lambda + \mu)\cdot\vec{x} = \lambda  \vec{x} + \mu  {x}
  3. (\lambda \cdot \mu) \cdot \vec{x} = \lambda \cdot (\mu \vec{x})
  4. 1 \cdot \vec{x} = \vec{x}
Gruppe
Gruppe[Bearbeiten]

Eine Gruppe (G, \circ) ist

  • abgeschlossen bzgl. der Operation \circ in G,
  • assoziativ: \forall a,b,c\in G:\quad a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c,
  • beinhaltet ein neutrales Element e: \quad\forall a:\quad a\circ e=a
  • sowie inverse Elemente: \forall a\quad\exists a^{-1}:\quad a\circ a^{-1}=e.

Lösungansatz von superlufti[Bearbeiten]

Soweit ich das Verstanden habe, sind Vektorräume die Verallgemeinerung des Vektor-Begriffs: Sprich Vektorräume sind so Definiert <V,+,K): wobei <V,+> ein kommutative Gruppe ist und K ein Körper, also \mathbb{R} oder \mathbb{C}

Zusätzlich müssen noch folgende Gesetze erfüllt sein:

  1. \lambda(\mu\vec{x}) = (\lambda\mu\vec{x})
  2. 1*\vec{x} = \vec{x}
  3. \lambda(\vec{x}+\vec{y}) = \lambda\vec{x} + \lambda\vec{y}
  4. (\lambda+\mu)\vec{x} = \lambda\vec{x} + \mu\vec{x}

für alle \vec{x},\vec{y} E V

und

für alle \lambda,\mu E K

ok, schaun wir uns mal an ob (x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,0) überhaupt eine kommutative gruppe ist,

Abgeschlossenheit
erfüllt weil das Ergebnis wieder einen Vektor liefert, egal welche Werte man für x und y einsetzt
Assoziativ
[(x_1,x_2)+(y_1,y_2)]+(z_1,z_2)=(y_1,y_2)+[(x_1,x_2)+(z_1,z_2)]=(x_1+y_1+z_1,0)
ist auch erfüllt, weil die Addition ja assoziativ ist und das zweite Element im Vektor immer auf 0 abgebildet wird. Sprich Gruppoid.
Neutrales Element
das bedeutet
x+e = x
ich glaube das neutrales Element nicht immer vorhanden
(x1,x2) + (e1,e2) = (e1,e2) + (x1,x2) = (x1,x2)
nur bei: (x1,0)+(0,n) = (x1,0)
(x1, x2)+(0,n) != (x1+0, 0)

Meine Schlussfolgerung wäre, das V keine kommutative Gruppe ist und deswegen die Operation keinen Vektorraum bildet.

Edited by Unreal:

Auch das folgende Gesetz ist nicht erfüllt:

1*\vec{x} = \vec{x}

Weil 1*\vec{x} = (x1,0) die nicht mit x ( (x1,x2) ) gleich ist

Andere Meinung[Bearbeiten]

Die Lösung oben von superlufti und unreal ignoriert, das x_2 und y_2 gleich 0 sind.

Der Ausdruck mit Lambda in der Angabe muss bei der Feststellung, ob es sich um eine abelsche Gruppe handelt, berücksichtigt werden, weil er ja die Werte für x und y einschränkt. Damit gibt es ein neutrales Element und auch 1*\vec{x} = \vec{x} ist erfüllt. Es gibt für jedes Element ein inverses Element (jeweils der Vektor mit dem negativen x_1 oder y_1 oben ergibt den Nullvektor, das ist immer das neutrale Element in einem Vektorraum) und kommutativ ist es auch (man kann die beiden Vektoren vertauschen, selbes Ergebnis). V ist damit eine abelsche Gruppe.

Es handelt sich darüber hinaus auch um einen Vektorraum, da folgende Gesetze, die die Voraussetzung für einen Vektorraum darstellen, erfüllt sind:

 \forall \vec{x} , \vec{y} \in V, \forall \lambda, \mu \in K

i) \lambda * (\vec{x} + \vec{y}) = \lambda  \vec{x} + \lambda  \vec{y}

ii) (\lambda + \mu)*\vec{x} = \lambda  \vec{x} + \mu  {x}

iii) (\lambda * \mu) * \vec{x} = \lambda * (\mu \vec{x})

iv) 1* \vec{x} = \vec{x}

Edit, 10.12.18:

Nach Absprache mit einem Tutor: die angegebenen Operationen sind nur als ebensolche zu deuten, und nicht als Begrenzungen für die Werte von  x_2,y_2. Der Lösungsansatz von superlufti und unreal passt.

Kommentar[Bearbeiten]

iv) 1* \vec{x} = \vec{x} kann nicht gültig sein am Beispiel: 1* \vec{x} \neq \vec{x} für \vec(x) = (1, 1)

1*(1, 1) = (1, 0) und ist somit nicht erfüllt.

Links[Bearbeiten]