TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 457

Bildet $\mathbb {R} ^{2}$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $\mathbb {R}$

$(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},0),\lambda (x_{1},x_{2})=(\lambda *x_{1},0)$

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Hilfreiches

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Gruppe

Eine Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\rightarrow G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\exists e\in G:\forall a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• sowie besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a'$: $\forall a\in G:\exists a^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$

Lösungansatz von superlufti

Soweit ich das Verstanden habe, sind Vektorräume die Verallgemeinerung des Vektor-Begriffs: Sprich Vektorräume sind so Definiert <V,+,K): wobei <V,+> ein kommutative Gruppe ist und K ein Körper, also $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$

Zusätzlich müssen noch folgende Gesetze erfüllt sein:

1. $\lambda (\mu {\vec {x}})=(\lambda \mu {\vec {x}})$
2. $1*{\vec {x}}={\vec {x}}$
3. $\lambda ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
4. $(\lambda +\mu ){\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {\vec {x}}$

für alle ${\vec {x}},{\vec {y}}EV$

und

für alle $\lambda ,\mu EK$

ok, schaun wir uns mal an ob $(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},0)$ überhaupt eine kommutative gruppe ist,

Abgeschlossenheit

erfüllt weil das Ergebnis wieder einen Vektor liefert, egal welche Werte man für x und y einsetzt

Assoziativ

$[(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})]+(z_{1},z_{2})=(y_{1},y_{2})+[(x_{1},x_{2})+(z_{1},z_{2})]=(x_{1}+y_{1}+z_{1},0)$

ist auch erfüllt, weil die Addition ja assoziativ ist und das zweite Element im Vektor immer auf 0 abgebildet wird. Sprich Gruppoid.

Neutrales Element

das bedeutet

x+e = x

ich glaube das neutrales Element nicht immer vorhanden

(x1,x2) + (e1,e2) = (e1,e2) + (x1,x2) = (x1,x2)

nur bei: (x1,0)+(0,n) = (x1,0)

(x1, x2)+(0,n) != (x1+0, 0)

Meine Schlussfolgerung wäre, das V keine kommutative Gruppe ist und deswegen die Operation keinen Vektorraum bildet.

Edited by Unreal:

Auch das folgende Gesetz ist nicht erfüllt:

$1*{\vec {x}}={\vec {x}}$

Weil $1*{\vec {x}}=(x1,0)$ die nicht mit x ( (x1,x2) ) gleich ist

Andere Meinung

Die Lösung oben von superlufti und unreal ignoriert, das $x_{2}$ und $y_{2}$ gleich 0 sind.

Der Ausdruck mit Lambda in der Angabe muss bei der Feststellung, ob es sich um eine abelsche Gruppe handelt, berücksichtigt werden, weil er ja die Werte für x und y einschränkt. Damit gibt es ein neutrales Element und auch $1*{\vec {x}}={\vec {x}}$ ist erfüllt. Es gibt für jedes Element ein inverses Element (jeweils der Vektor mit dem negativen $x_{1}$ oder $y_{1}$ oben ergibt den Nullvektor, das ist immer das neutrale Element in einem Vektorraum) und kommutativ ist es auch (man kann die beiden Vektoren vertauschen, selbes Ergebnis). V ist damit eine abelsche Gruppe.

Es handelt sich darüber hinaus auch um einen Vektorraum, da folgende Gesetze, die die Voraussetzung für einen Vektorraum darstellen, erfüllt sind:

$\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$

i) $\lambda *({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$

ii) $(\lambda +\mu )*{\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$

iii) $(\lambda *\mu )*{\vec {x}}=\lambda *(\mu {\vec {x}})$

iv) $1*{\vec {x}}={\vec {x}}$

Edit, 10.12.18:

Nach Absprache mit einem Tutor: die angegebenen Operationen sind nur als ebensolche zu deuten, und nicht als Begrenzungen für die Werte von $x_{2},y_{2}$. Der Lösungsansatz von superlufti und unreal passt.

Kommentar

iv) $1*{\vec {x}}={\vec {x}}$ kann nicht gültig sein am Beispiel: $1*{\vec {x}}\neq {\vec {x}}$ für ${\vec {(}}x)=(1,1)$

$1*(1,1)=(1,0)$ und ist somit nicht erfüllt.

Links

• f.thread:8565
• [[1]]