TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 457

Bildet ${ℝ}^2$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $ℝ$ ?

$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,0),\lambda \cdot (x_1,x_2)=(\lambda \cdot x_1,0)$.

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Hilfreiches

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Gruppe

Eine Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\to G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\mathrm{\forall }a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\mathrm{\exists }e\in G:\mathrm{\forall }a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• sowie besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a^{\prime }$: $\mathrm{\forall }a\in G:\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$

Lösungansatz von superlufti

Soweit ich das Verstanden habe, sind Vektorräume die Verallgemeinerung des Vektor-Begriffs: Sprich Vektorräume sind so Definiert <V,+,K): wobei <V,+> ein kommutative Gruppe ist und K ein Körper, also $ℝ$ oder $ℂ$

Zusätzlich müssen noch folgende Gesetze erfüllt sein:

1. $\lambda (\mu \overrightarrow{x})=(\lambda \mu \overrightarrow{x})$
2. $1\ast \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$
3. $\lambda (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
4. $(\lambda +\mu )\overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu \overrightarrow{x}$

für alle $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}EV$

und

für alle $\lambda ,\mu EK$

ok, schaun wir uns mal an ob $(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,0)$ überhaupt eine kommutative gruppe ist,

Abgeschlossenheit

erfüllt weil das Ergebnis wieder einen Vektor liefert, egal welche Werte man für x und y einsetzt

Assoziativ

$[(x_1,x_2)+(y_1,y_2)]+(z_1,z_2)=(y_1,y_2)+[(x_1,x_2)+(z_1,z_2)]=(x_1+y_1+z_1,0)$

ist auch erfüllt, weil die Addition ja assoziativ ist und das zweite Element im Vektor immer auf 0 abgebildet wird. Sprich Gruppoid.

Neutrales Element

das bedeutet

x+e = x

ich glaube das neutrales Element nicht immer vorhanden

(x1,x2) + (e1,e2) = (e1,e2) + (x1,x2) = (x1,x2)

nur bei: (x1,0)+(0,n) = (x1,0)

(x1, x2)+(0,n) != (x1+0, 0)

Meine Schlussfolgerung wäre, das V keine kommutative Gruppe ist und deswegen die Operation keinen Vektorraum bildet.

Edited by Unreal:

Auch das folgende Gesetz ist nicht erfüllt:

$1\ast \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Weil $1\ast \overrightarrow{x}=(x1,0)$ die nicht mit x ( (x1,x2) ) gleich ist

Andere Meinung

Die Lösung oben von superlufti und unreal ignoriert, das $x_2$ und $y_2$ gleich 0 sind.

Der Ausdruck mit Lambda in der Angabe muss bei der Feststellung, ob es sich um eine abelsche Gruppe handelt, berücksichtigt werden, weil er ja die Werte für x und y einschränkt. Damit gibt es ein neutrales Element und auch $1\ast \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$ ist erfüllt. Es gibt für jedes Element ein inverses Element (jeweils der Vektor mit dem negativen $x_1$ oder $y_1$ oben ergibt den Nullvektor, das ist immer das neutrale Element in einem Vektorraum) und kommutativ ist es auch (man kann die beiden Vektoren vertauschen, selbes Ergebnis). V ist damit eine abelsche Gruppe.

Es handelt sich darüber hinaus auch um einen Vektorraum, da folgende Gesetze, die die Voraussetzung für einen Vektorraum darstellen, erfüllt sind:

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$

i) $\lambda \ast (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$

ii) $(\lambda +\mu )\ast \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$

iii) $(\lambda \ast \mu )\ast \overrightarrow{x}=\lambda \ast (\mu \overrightarrow{x})$

iv) $1\ast \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Edit, 10.12.18:

Nach Absprache mit einem Tutor: die angegebenen Operationen sind nur als ebensolche zu deuten, und nicht als Begrenzungen für die Werte von $x_2,y_2$. Der Lösungsansatz von superlufti und unreal passt.

Kommentar

iv) $1\ast \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$ kann nicht gültig sein am Beispiel: $1\ast \overrightarrow{x}\ne \overrightarrow{x}$ für $\overrightarrow{(}x)=(1,1)$

$1\ast (1,1)=(1,0)$ und ist somit nicht erfüllt.

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 01:25, 4. Mär. 2026 (CET)

Bildet ${ℝ}^2$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $ℝ$ ?

$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,0),\lambda \cdot (x_1,x_2)=(\lambda \cdot x_1,0)$.

Addition $⟨V={ℝ}^2,\oplus ⟩$: abelsche Gruppe: $(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,0),\lambda \cdot (x_1,x_2)=(\lambda \cdot x_1,0)$.

• Abgeschlossen: klar, ohne Beweis.

• Kommutativ: Zu zeigen: $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}=(x_1,x_2),\overrightarrow{y}=(y_1,y_2)\in {ℝ}^2:\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{y}=\overrightarrow{y}\oplus \overrightarrow{x}:$

$\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{y}=(x_1,x_2)\oplus (y_1,y_2)=(x_1+y_1,0)=(y_1+x_1,0)=𝕏$: Es fehlt das inverses Element.

• Neutrale Element: Zu zeigen: $\mathrm{\exists }\overrightarrow{0}\in R^2$ mit $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\oplus \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{0}:$

$\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{0}=(x_1,x_2)\oplus (y_1,y_2)=(x_1+y_1,0)⟹(x_1+y_1,0)\ne (x_1,x_2)$, auch nicht mit $y_1=0:\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{0}=(x_1,x_2)\oplus (0,y_2)=(x_1,0)$.

Sei $\overrightarrow{x}=(1,2)\in {ℝ}^2$, dann ist \vec{x} \oplus \vec{0} = (1, 2) \oplus (y_1, 0) = (1,0)) \neq (1,2). Es gibt kein neutrales Element $\overrightarrow{0}$. $𝕏$.

Damit kann $⟨V={ℝ}^2,\odot ,ℝ⟩$ kein Vektorraum sein.

Gesamtergebnis: $⟨V={ℝ}^2,\oplus ,\odot ⟩$ ist $kein$ Vektorraum über $ℝ$. $◼$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum

Ähnliche Beispiele:

• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_458
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• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_461
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_462

Weitere Links:

• [Bsp. 457]