TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 508

Sei $V=\{\sum _{i=0}^n{a}_i\cdot x^f|a_i\in ℝ,n\in \mathbb{N}\}$ der Vektorraum aller Polynome mit reellen Koeffizienten.

Untersuchen Sie, ob $f(x)=1-x-3\cdot x^2,g(x)=2-2\cdot x^2$ und $h(x)=3+3\cdot x-2\cdot x^2$ linear unabhängig sind.

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Hilfreiches von Har203

Lineare Unabhängigkeit Matrix

Interessant ist auch die Frage, ob die Zeilen einer Matrix linear unabhängig sind oder nicht. Dabei werden die Zeilen als Vektoren betrachtet. Falls die Zeilen einer quadratischen Matrix linear unabhängig sind, so nennt man die Matrix regulär, andernfalls singulär. Die Spalten einer quadratischen Matrix sind genau dann linear unabhängig, wenn die Zeilen linear unabhängig sind. Beispiel einer Folge von regulären Matrizen: Hilbert-Matrix.
[1] Hauptartikel: [Matrix (Zeilen und Spalten)]

Lineare Unabhängigkeit Funktion

Sei $V$ der Vektorraum aller Funktionen $f:ℝ\to ℝ$. Die beiden Funktionen ${\mathrm{e}}^t$ und ${\mathrm{e}}^{2t}$ in $V$ sind linear unabhängig.

[1] Hauptartikel: [Funktionen als Vektoren]

Lösungsvorschlag von Har203

Sei $V=\{f\mid f:ℝ\to ℝ\}$ der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen.

Untersuchen Sie, ob $1-x-3\cdot x^2,2-2\cdot x^2$ und $3+3\cdot x-2\cdot x^2$ linear unabhängig sind.

Für eine lineare Unabhängigkeit der drei vorgegebenen Polynome (${ℝ}_2[x]$) darf die folgende Gleichung nur die triviale Lösung (${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=0$) haben:

${\lambda }_1\cdot f(x)+{\lambda }_2\cdot g(x)+{\lambda }_3\cdot h(x)=0,{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\in ℝ,\mathrm{\forall }x\in ℝ⟹{\lambda }_1\cdot (1\cdot x^0+-1\cdot x^1-3\cdot x^2)+{\lambda }_2\cdot (2\cdot x^0+0\cdot x^1-2\cdot x^2)+{\lambda }_3\cdot (3\cdot x^0+3\cdot x^1-2\cdot x^2)=0\equiv$ Nullpolynom.

• Anmerkung: Ein Polynom ist genau dann $0$ (Nullpolynom), wenn für alle Koeffizienten $a_i$ von $\sum _{i=0}^{n|\mathrm{\infty }}{a}_i\cdot x^i$ gilt $a_i=0,\mathrm{\forall }i=0,\dots ,n$ bzw. $i=0,\dots ,\mathrm{\infty }$.

• Nur zum Bezugnehmen auf Werte: Die Koordinaten der Vektoren $\overrightarrow{f}$ seien $f_i\in ℝ$, jene von $\overrightarrow{g}$ seien $g_i\in ℝ$ und jene von $\overrightarrow{h}$ seien $h_i\in ℝ$, jeweils für $i\in \{1,2,3\}$.

Wir erhalten die obere Gleichung für ${\lambda }_i$, je ein ${\lambda }_i$ für eine vorgegebene Funktion mit den Koeffizienten $f_i,g_i,h_i$. Für das Lösen der Polynom-Gleichung gilt, dass das Nullpolynom genau dann erreicht wird, wenn alle Koeffizienten $a_i=0$ aller Grade von $x^0,\dots ,x^n$ bzw. $x^0,\dots ,\mathrm{\infty }$ sind. D.h. wir ordnen die Gleichung nach den Graden von $x^i$ um, erstellen eine separate Gleichung für jede vorhandene Potenz von $x^i$. Jede dieser Gleichungen muss nun separat den Wert $0$ annehmen:

$\begin{array}{cccccccc}& {\lambda }_1\cdot (1)& +{\lambda }_2& \cdot (2)& & +{\lambda }_3\cdot (3)& =0& \text{ Gleichung für }{a}_0\cdot x^0.\\ & {\lambda }_1\cdot (-1)& +{\lambda }_2& \cdot (0)& & +{\lambda }_3\cdot (3)& =0& \text{ Gleichung für }{a}_1\cdot x^1.\\ & {\lambda }_1\cdot (-3)& +{\lambda }_2& \cdot (-2)& & +{\lambda }_3\cdot (-2)& =0& \text{ Gleichung für }{a}_2\cdot x^2.\end{array}$

Wir stellen das Gleichungssystem mit den drei Gleichungen mit den drei Unbekannten (${\lambda }_i,i\in \{1,2,3\}$) auf. Dabei übernehmen wir die Werte aus den Gleichungen von oben:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 0& 3\\ -3& -2& -2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ {\lambda }_3\end{array}\right)=\overrightarrow{0_V}$

Determinante

Der kürzeste Weg zu zeigen, dass die drei Funktionen $f(x),g(x)$ und $h(x)$ linear unabhängig sind, ist, die Determinante dieser Matrix zu bestimmen:

$det(A)=-18+6+6-4=-10\ne 0⟹$ Die Determinante der Matrix $A,det(A)=-10\ne 0$. Damit ist diese Matrix regulär (= invertierbar) und muss den Rang $\mathrm{rg}(A)=3$ haben. Das heißt, die Gleichung hat nur die triviale Lösung mit ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=0$. Das heißt, die drei Funktionen sind linear unabhängig. $◼$

Lineares Gleichungssystem

Wir lösen das Gleichungssystem mit dem gauß'schem Eliminationsverfahren, sodass wir den Rang der Matrix $A$ ablesen können. Dafür benötigen wir keine erweiterte Matrix $A$:

$\begin{array}{cccc}A=& \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 0& 3\\ -3& -2& -2\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ +Z1\\ +3\cdot Z1\end{array}\to & \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 2& 6\\ 0& 4& 7\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \cdot (1/2)\\ \cdot (1/4)\end{array}\to & \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 3\\ 0& 1& 7/4\end{array}\right)\begin{array}{c}-2\cdot Z2\\ \\ -Z2\end{array}\to \\ & \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -3\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& -5/4\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ \cdot (-4/5)\end{array}\to & \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -3\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\begin{array}{c}+3\cdot Z3\\ -3\cdot Z3\\ \end{array}\to & \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$

Der Rang der Matrix $A$ ist drei. Das heißt, dass alle drei Vektoren unabhängig sind.

$⟹$Für unsere drei Funktionen bedeutet es, dass alle drei Funktionen linear unabhängig sind.$◼$

Links

Wikipedia:

• Matrix
• Lineare Unabhängigkeit
• Lineare Unabhängigkeit: Matrix (Spalten und Zeilen)
• Gaußsches_Eliminationsverfahren Gaußsche Eliminationsverfahren
• Polynomring $R^n[x]$

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