TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 127

Man berechne das Kurvenintegral über das Vektorfeld

$\overrightarrow{f}(x,y)=\left(\begin{array}{c}{x}^{2}y\\ x^2-y^2\end{array}\right)$

(a) längs der beiden achsenparallelen Wege $(0,0)\to (0,2)\to (3,2)$ und $(0,0)\to (3,0)\to (3,2)$ sowie (b) entlang der Parabel $3y^2=4x$ von $(0,0)$ nach $(3,2)$.

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Lösungsvorschlag

Beispiel (a) $(0,0)\to (0,2)\to (3,2)$

Teilstrecke 1 $(0,0)\to (0,2)$

${\overrightarrow{c}}_1(t)=\left(\begin{array}{c}0\\ t\end{array}\right)$ mit $t\in [0,2]$

${{\overrightarrow{c}}_1}^{\prime }(t)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

$\begin{array}{cc}{\int }_0^2\overrightarrow{f}({\overrightarrow{c}}_1(t))\cdot {{\overrightarrow{c}}_1}^{\prime }(t)\mathrm{d}t& ={\int }_0^2\left(\begin{array}{c}{0}^2\cdot t\\ 0^2-t^2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{2}0-t^2\mathrm{d}t\\ & ={\frac{-t^3}{3}|}_0^2\\ & =\frac{-2^3}{3}-\frac{-0^3}{3}=\frac{-8}{3}\end{array}$

Teilstrecke 2 $(0,2)\to (3,2)$

${\overrightarrow{c}}_2(t)=\left(\begin{array}{c}t\\ 2\end{array}\right)$ mit $t\in [0,3]$

${{\overrightarrow{c}}_2}^{\prime }(t)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

$\begin{array}{cc}{\int }_0^3\overrightarrow{f}({\overrightarrow{c}}_2(t))\cdot {{\overrightarrow{c}}_2}^{\prime }(t)\mathrm{d}t& ={\int }_0^3\left(\begin{array}{c}{t}^2\cdot 2\\ t^2-2^2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{3}2t^2+0\mathrm{d}t\\ & ={\frac{2t^3}{3}|}_0^3\\ & =\frac{2\cdot 3^3}{3}-\frac{2\cdot 0^3}{3}=18\end{array}$

Gesamtstrecke

Die Gesamtstrecke ergibt sich aus der Summe der Teilstrecken und beträgt daher $\frac{-8}{3}+18=\frac{46}{3}=15.\bar{3}$.

Beispiel (a) $(0,0)\to (3,0)\to (3,2)$

Teilstrecke 1 $(0,0)\to (3,0)$

30.06.2019 - Korrektur (Fehler gefunden)

${\overrightarrow{c}}_1(t)=\left(\begin{array}{c}t\\ 0\end{array}\right)$ mit $t\in [0,3]$

${{\overrightarrow{c}}_1}^{\prime }(t)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

$\begin{array}{cc}{\int }_0^3\overrightarrow{f}({\overrightarrow{c}}_1(t))\cdot {{\overrightarrow{c}}_1}^{\prime }(t)\mathrm{d}t& ={\int }_0^3\left(\begin{array}{c}t-0\\ t^2-0^2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{3}t\mathrm{d}t=\frac{9}{2}\end{array}$

Teilstrecke 2 $(3,0)\to (3,2)$

${\overrightarrow{c}}_2(t)=\left(\begin{array}{c}3\\ t\end{array}\right)$ mit $t\in [0,2]$

${{\overrightarrow{c}}_2}^{\prime }(t)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

$\begin{array}{cc}{\int }_0^2\overrightarrow{f}({\overrightarrow{c}}_2(t))\cdot {{\overrightarrow{c}}_2}^{\prime }(t)\mathrm{d}t& ={\int }_0^2\left(\begin{array}{c}{3}^2\cdot t\\ 3^2-t^2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{2}0+9-t^2\mathrm{d}t\\ & ={9t-\frac{t^3}{3}|}_0^2\\ & =9\cdot 2-\frac{2^3}{3}-9\cdot 0+\frac{0^3}{3}=18-\frac{8}{3}=\frac{46}{3}\end{array}$

Gesamtstrecke

Die Gesamtstrecke ergibt sich aus der Summe der Teilstrecken und beträgt daher $\frac{9}{2}+\frac{46}{3}=\frac{119}{6}$.

Beispiel (b) $3y^2=4x$

$x=\frac{3y^2}{4}$

$\overrightarrow{c}(t)=\left(\begin{array}{c}\frac{3t^2}{4}\\ t\end{array}\right)$ mit $t\in [0,2]$

${\overrightarrow{c}}^{\prime }(t)=\left(\begin{array}{c}\frac{3t}{2}\\ 1\end{array}\right)$

$\begin{array}{cc}{\int }_0^2\overrightarrow{f}(\overrightarrow{c}(t))\cdot {\overrightarrow{c}}^{\prime }(t)\mathrm{d}t& ={\int }_0^2\left(\begin{array}{c}{\left(\frac{3t^2}{4}\right)}^2\cdot t\\ {\left(\frac{3t^2}{4}\right)}^2-t^2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{3t}{2}\\ 1\end{array}\right)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^2\frac{9t^4}{16}\cdot t\cdot \frac{3t}{2}+\frac{9t^4}{16}-t^2\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^2\frac{27t^6}{32}+\frac{9t^4}{16}-t^2\mathrm{d}t\\ & ={\frac{27t^7}{224}+\frac{9t^5}{80}-\frac{t^3}{3}|}_0^2\\ & =\frac{27\cdot 2^7}{224}+\frac{9\cdot 2^5}{80}-\frac{2^3}{3}-\frac{27\cdot 0^7}{224}-\frac{9\cdot 0^5}{80}+\frac{0^3}{3}\\ & =\frac{108}{7}+\frac{18}{5}-\frac{8}{3}=\frac{1718}{105}\approx 16.3619\end{array}$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Integralrechnung in mehreren Variablen 9 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 239 (ähnliches Beispiel)