TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 127

Man berechne das Kurvenintegral über das Vektorfeld

${\vec {f}}(x,y)={\begin{pmatrix}x^{2}y\\x^{2}-y^{2}\end{pmatrix}}$

(a) längs der beiden achsenparallelen Wege $(0,0)\to (0,2)\to (3,2)$ und $(0,0)\to (3,0)\to (3,2)$ sowie (b) entlang der Parabel $3y^{2}=4x$ von $(0,0)$ nach $(3,2)$.

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Lösungsvorschlag

Beispiel (a) $(0,0)\to (0,2)\to (3,2)$

Teilstrecke 1 $(0,0)\to (0,2)$

${\vec {c}}_{1}(t)={\begin{pmatrix}0\\t\end{pmatrix}}$ mit $t\in [0,2]$

${\vec {c}}_{1}'(t)={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

${\begin{aligned}\int _{0}^{2}{\vec {f}}({\vec {c}}_{1}(t))\cdot {\vec {c}}_{1}'(t)\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{2}{\begin{pmatrix}0^{2}\cdot t\\0^{2}-t^{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2}0-t^{2}\,\mathrm {d} t\\&=\left.{\frac {-t^{3}}{3}}\right|_{0}^{2}\\&={\frac {-2^{3}}{3}}-{\frac {-0^{3}}{3}}={\frac {-8}{3}}\end{aligned}}$

Teilstrecke 2 $(0,2)\to (3,2)$

${\vec {c}}_{2}(t)={\begin{pmatrix}t\\2\end{pmatrix}}$ mit $t\in [0,3]$

${\vec {c}}_{2}'(t)={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

${\begin{aligned}\int _{0}^{3}{\vec {f}}({\vec {c}}_{2}(t))\cdot {\vec {c}}_{2}'(t)\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{3}{\begin{pmatrix}t^{2}\cdot 2\\t^{2}-2^{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{3}2t^{2}+0\,\mathrm {d} t\\&=\left.{\frac {2t^{3}}{3}}\right|_{0}^{3}\\&={\frac {2\cdot 3^{3}}{3}}-{\frac {2\cdot 0^{3}}{3}}=18\end{aligned}}$

Gesamtstrecke

Die Gesamtstrecke ergibt sich aus der Summe der Teilstrecken und beträgt daher ${\frac {-8}{3}}+18={\frac {46}{3}}=15.{\overline {3}}$.

Beispiel (a) $(0,0)\to (3,0)\to (3,2)$

Teilstrecke 1 $(0,0)\to (3,0)$

30.06.2019 - Korrektur (Fehler gefunden)

${\vec {c}}_{1}(t)={\begin{pmatrix}t\\0\end{pmatrix}}$ mit $t\in [0,3]$

${\vec {c}}_{1}'(t)={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

${\begin{aligned}\int _{0}^{3}{\vec {f}}({\vec {c}}_{1}(t))\cdot {\vec {c}}_{1}'(t)\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{3}{\begin{pmatrix}t-0\\t^{2}-0^{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{3}t\,\mathrm {d} t={\frac {9}{2}}\end{aligned}}$

Teilstrecke 2 $(3,0)\to (3,2)$

${\vec {c}}_{2}(t)={\begin{pmatrix}3\\t\end{pmatrix}}$ mit $t\in [0,2]$

${\vec {c}}_{2}'(t)={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

${\begin{aligned}\int _{0}^{2}{\vec {f}}({\vec {c}}_{2}(t))\cdot {\vec {c}}_{2}'(t)\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{2}{\begin{pmatrix}3^{2}\cdot t\\3^{2}-t^{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2}0+9-t^{2}\,\mathrm {d} t\\&=\left.9t-{\frac {t^{3}}{3}}\right|_{0}^{2}\\&=9\cdot 2-{\frac {2^{3}}{3}}-9\cdot 0+{\frac {0^{3}}{3}}=18-{\frac {8}{3}}={\frac {46}{3}}\end{aligned}}$

Gesamtstrecke

Die Gesamtstrecke ergibt sich aus der Summe der Teilstrecken und beträgt daher ${\frac {9}{2}}+{\frac {46}{3}}={\frac {119}{6}}$.

Beispiel (b) $3y^{2}=4x$

$x={\frac {3y^{2}}{4}}$

${\vec {c}}(t)={\begin{pmatrix}{\frac {3t^{2}}{4}}\\t\end{pmatrix}}$ mit $t\in [0,2]$

${\vec {c}}'(t)={\begin{pmatrix}{\frac {3t}{2}}\\1\end{pmatrix}}$

${\begin{aligned}\int _{0}^{2}{\vec {f}}({\vec {c}}(t))\cdot {\vec {c}}'(t)\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{2}{\begin{pmatrix}\left({\frac {3t^{2}}{4}}\right)^{2}\cdot t\\\left({\frac {3t^{2}}{4}}\right)^{2}-t^{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {3t}{2}}\\1\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2}{\frac {9t^{4}}{16}}\cdot t\cdot {\frac {3t}{2}}+{\frac {9t^{4}}{16}}-t^{2}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2}{\frac {27t^{6}}{32}}+{\frac {9t^{4}}{16}}-t^{2}\,\mathrm {d} t\\&=\left.{\frac {27t^{7}}{224}}+{\frac {9t^{5}}{80}}-{\frac {t^{3}}{3}}\right|_{0}^{2}\\&={\frac {27\cdot 2^{7}}{224}}+{\frac {9\cdot 2^{5}}{80}}-{\frac {2^{3}}{3}}-{\frac {27\cdot 0^{7}}{224}}-{\frac {9\cdot 0^{5}}{80}}+{\frac {0^{3}}{3}}\\&={\frac {108}{7}}+{\frac {18}{5}}-{\frac {8}{3}}={\frac {1718}{105}}\approx 16.3619\end{aligned}}$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Integralrechnung in mehreren Variablen 9 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 239 (ähnliches Beispiel)