TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 33

Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrix:

$A={\begin{pmatrix}4&2&2\\2&2&3\\2&3&14\end{pmatrix}}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Hilfreiches

Hauptminorenkriterium

Hauptminorenkriterium

Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind.
Eine symmetrische Matrix ist genau dann negativ definit, wenn die Hauptminoren $M_{k}$ für die geraden k positiv und für die ungeraden k negativ sind (bzw. wenn -A positiv definit ist. Das alternierende Schema entsteht durch die Auswirkungen der elementaren Spalten/Zeilenumformungen)

(führende) Hauptminoren

Zum Beispiel:

$A={\begin{pmatrix}4&2&2\\2&2&3\\2&3&14\end{pmatrix}}$

1. Hauptminor: ${\begin{vmatrix}4\end{vmatrix}}$

2. Hauptminor: ${\begin{vmatrix}4&2\\2&2\end{vmatrix}}$

3. Hauptminor: ${\begin{vmatrix}4&2&2\\2&2&3\\2&3&14\end{vmatrix}}$

Lösungsvorschlag von Usernamee 17:50, 24. Sep. 2021 (CEST)

--Usernamee 17:50, 24. Sep. 2021 (CEST)

Wie aus dem im Wiki hinterlegten Beispiel trivial hervorgeht:

$M_{1}={\begin{vmatrix}4\end{vmatrix}}=4\Rightarrow {\text{positiv}}$

$M_{2}={\begin{vmatrix}4&2\\2&2\end{vmatrix}}=8-4=4\Rightarrow {\text{positiv}}$

$M_{3}={\begin{vmatrix}4&2&2\\2&2&3\\2&3&14\end{vmatrix}}=8*14+12+12-8-4*14-9*4=36\Rightarrow {\text{positiv}}$

Dadurch, dass alle Determinanten der Hauptminoren positiv sind ist diese Matrix positiv definit.