TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 33

Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrix:

$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 2& 3\\ 2& 3& 14\end{array}\right)$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Hilfreiches

Hauptminorenkriterium

Hauptminorenkriterium

Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind.
Eine symmetrische Matrix ist genau dann negativ definit, wenn die Hauptminoren $M_k$ für die geraden k positiv und für die ungeraden k negativ sind (bzw. wenn -A positiv definit ist. Das alternierende Schema entsteht durch die Auswirkungen der elementaren Spalten/Zeilenumformungen)

(führende) Hauptminoren

Zum Beispiel:

$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 2& 3\\ 2& 3& 14\end{array}\right)$

1. Hauptminor: $\left|\begin{array}{c}4\end{array}\right|$

2. Hauptminor: $\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 2\end{array}\right|$

3. Hauptminor: $\left|\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 2& 3\\ 2& 3& 14\end{array}\right|$

Lösungsvorschlag von Usernamee 17:50, 24. Sep. 2021 (CEST)

--Usernamee 17:50, 24. Sep. 2021 (CEST)

Wie aus dem im Wiki hinterlegten Beispiel trivial hervorgeht:

$M_1=\left|\begin{array}{c}4\end{array}\right|=4\Rightarrow \text{positiv}$

$M_2=\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 2\end{array}\right|=8-4=4\Rightarrow \text{positiv}$

$M_3=\left|\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 2& 3\\ 2& 3& 14\end{array}\right|=8\ast 14+12+12-8-4\ast 14-9\ast 4=36\Rightarrow \text{positiv}$

Dadurch, dass alle Determinanten der Hauptminoren positiv sind ist diese Matrix positiv definit.