TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 38

Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrix: $A={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Hinweis: Setzen Sie den Vektor (1,0,0) und den Vektor (0,0,1) in die der Matrix entsprechenden quadratischen Form ein.

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Hilfreiches

Quadratische Form

Quadratische Form

Definition:

Die Quadratische Form aus einem Vektor ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ und einer symmetrischen quadratischen Matrix $A_{n}={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}},\;a_{ij}=a_{ji}\;\forall i,j$ ist

$q({\vec {x}})={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}$.

• Für z.B. den Fall n=2 ist also $q(x,y)=\left(x\ y\right){\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=ax^{2}+2bxy+cy^{2}$.

Definitheit

Definitheit

Definition: Eine quadratische Form $q({\vec {x}})={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}$ (bzw. die zugehörige symmetrische Matrix $A$) heißt:

1. positiv definit, falls $q({\vec {x}})>0\quad \forall {\vec {x}}\neq {\vec {0}}$
2. negativ definit, falls $q({\vec {x}})<0\quad \forall {\vec {x}}\neq {\vec {0}}$
3. positiv semidefinit, falls $q({\vec {x}})\geq 0\quad \forall {\vec {x}}$
4. negativ semidefinit, falls $q({\vec {x}})\leq 0\quad \forall {\vec {x}}$
5. indefinit sonst.

Lösungsvorschlag von Usernamee

$q(x,y,z)=-x^{2}-y^{2}+z^{2}$

$q(1,0,0)=-1$

$q(0,0,1)=1$

Dadurch, dass die quadratische Form sowohl positive als auch negative Werte annimmt, ist die Matrix indefinit.