TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 38

Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrix: $A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Hinweis: Setzen Sie den Vektor (1,0,0) und den Vektor (0,0,1) in die der Matrix entsprechenden quadratischen Form ein.

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Hilfreiches

Quadratische Form

Quadratische Form

Definition:

Die Quadratische Form aus einem Vektor $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ und einer symmetrischen quadratischen Matrix $A_n=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right),a_{ij}=a_{ji}\mathrm{\forall }i,j$ ist

$q(\overrightarrow{x})={\overrightarrow{x}}^{T}A\overrightarrow{x}=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$.

• Für z.B. den Fall n=2 ist also $q(x,y)=\left(xy\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2$.

Definitheit

Definitheit

Definition: Eine quadratische Form $q(\overrightarrow{x})={\overrightarrow{x}}^{T}A\overrightarrow{x}$ (bzw. die zugehörige symmetrische Matrix $A$) heißt:

1. positiv definit, falls $q(\overrightarrow{x})>0\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\ne \overrightarrow{0}$
2. negativ definit, falls $q(\overrightarrow{x})<0\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\ne \overrightarrow{0}$
3. positiv semidefinit, falls $q(\overrightarrow{x})\ge 0\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}$
4. negativ semidefinit, falls $q(\overrightarrow{x})\le 0\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}$
5. indefinit sonst.

Lösungsvorschlag von Usernamee

$q(x,y,z)=-x^2-y^2+z^2$

$q(1,0,0)=-1$

$q(0,0,1)=1$

Dadurch, dass die quadratische Form sowohl positive als auch negative Werte annimmt, ist die Matrix indefinit.