TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 51

Man finde alle stationären Punkte der Funktion $f(x,y,z)=2x^{2}-3xz^{2}+y^{3}+3z^{2}-3y+3$ und bestimme daraus die relativen Extrema.

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Hilfreiches

Hauptminorenkriterium

Hauptminorenkriterium

Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind.
Eine symmetrische Matrix ist genau dann negativ definit, wenn die Hauptminoren $M_{k}$ für die geraden k positiv und für die ungeraden k negativ sind (bzw. wenn -A positiv definit ist. Das alternierende Schema entsteht durch die Auswirkungen der elementaren Spalten/Zeilenumformungen)

(führende) Hauptminoren

Zum Beispiel:

$A={\begin{pmatrix}4&2&2\\2&2&3\\2&3&14\end{pmatrix}}$

1. Hauptminor: ${\begin{vmatrix}4\end{vmatrix}}$

2. Hauptminor: ${\begin{vmatrix}4&2\\2&2\end{vmatrix}}$

3. Hauptminor: ${\begin{vmatrix}4&2&2\\2&2&3\\2&3&14\end{vmatrix}}$

Lösungsvorschlag

Stationäre Punkte

Eine notwendige Bedingung für die Existenz von relativen Extrema ist die Existenz von stationären Punkten. Stationäre Punkte erfüllen die Gleichung $\operatorname {grad} (f({\vec {x}}_{0}))=0$.

Die ersten partiellen Ableitungen die für den Gradienten benötigt werden:
$f_{x}=4x-3z^{2}$
$f_{y}=3y^{2}-3$
$f_{z}=-6xz+6z$

Wenn wir den Gradienten nun mit Null gleichsetzen bekommen wir folgendes Gleichungssystem:
$4x-3z^{2}=0$
$3y^{2}-3=0$
$6z-6xz=0$

Ein paar der Lösungen (Wolfram-Alpha Lösungen)
$y=\pm 1$
$x=1\Rightarrow z=\pm {\frac {2}{\sqrt {3}}}$
$x=0\Rightarrow z=0$

Woraus sich die 6 stationären Punkte $P\left(0,\pm 1,0\right)$ und $P\left(1,\pm 1,\pm {\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)$ ergeben.

Relative Extrema

Die hinreichende Bedingung für relative Extrema ist eine positiv oder negativ definite Hesse-Matrix in den stationären Punkten. Also müssen wir zuerst die Hesse-Matrix finden.

Hesse-Matrix

Für die Hesse-Matrix müssen wir nun alle zweiten partiellen Ableitung in die Matrix einsetzen:
$H(x,y,z)={\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}&f_{xz}\\f_{yx}&f_{yy}&f_{yz}\\f_{zx}&f_{zy}&f_{zz}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&0&-6z\\0&6y&0\\-6z&0&-6x+6\end{pmatrix}}$

Hauptminorenkriterium

1. Hauptminore: ${\begin{vmatrix}4\end{vmatrix}}$

$\det {\begin{vmatrix}4\end{vmatrix}}=4>0$

Daraus folgt das keine der stationären Punkte negativ definit sein kann.

2. Hauptminore: ${\begin{vmatrix}4&0\\0&6y\end{vmatrix}}$

$\det {\begin{vmatrix}4&0\\0&6y\end{vmatrix}}=24\cdot y$

Diese Determinante kann nur positiv sein falls y positiv ist, daraus folgt das nur die Punkte $P(0,1,0)$,$P(1,1,{\frac {2}{\sqrt {3}}})$ und $P(1,1,-{\frac {2}{\sqrt {3}}})$ relative Minima sein können. Die restlichen Punkte müssen Sattelpunkte sein.

3. Hauptminore: ${\begin{vmatrix}4&0&-6z\\0&6y&0\\-6z&0&-6x+6\end{vmatrix}}$

$\det {\begin{vmatrix}4&0&-6z\\0&6y&0\\-6z&0&-6x+6\end{vmatrix}}=24y(6-6x)-216yz^{2}$

Fall 1 $P(0,1,0)$: $144>0$

Fall 2 $P(1,1,{\frac {2}{\sqrt {3}}})$: $-216\cdot {\frac {4}{3}}<0$

Fall 3 $P(1,1,-{\frac {2}{\sqrt {3}}})$: $-216\cdot {\frac {4}{3}}<0$

Anmerkung 1: Bei mir ist die Det: 4*6y*(-6x+6) - (-6z*6y*-6z) = -144xy+144y-216yz^2 = -72y*(2x+3z^2-2) (wurde bestätigt)

Anmerkung 2: Der erste Hauptminor der Hesse-Matrix ist 4, also positiv. Die Matrix kann also nur mehr positiv definit oder indefinit werden. Bei einer negativ definiten Matrix müsste der erste Hauptminor negativ sein, und alle anderen abwechselnd positiv und negativ.

Ergebnis

Die Hesse-Matrix ist für die Punkte $P\left(0,1,0\right)$ positiv definit, daher ist dieser stationäre Punkt ein relatives Minimum. Alle anderen gefundenen stationären Punkte sind Sattelpunkte.