Sei die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ rekursiv gegeben durch $a_{0}=0$ und $a_{n+1}=a_{n}+{\frac {n}{(n+1)!}}\quad (n\geq 0)$ .
Man zeige (mit Hilfe vollständiger Induktion): $a_{n}=1-{\frac {1}{n!}}$ .

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Induktionsanfang:

n=0: $0=1-{\frac {1}{0!}}=0$

n=1: $0+{\frac {1}{2!}}={\frac {1}{2}}=1-{\frac {1}{2!}}$

Induktionsschritt:

Jetzt setzen wir in der rekursiven Definition der Folge für $a_{n}$ die Induktionsbehauptung $a_{n}=1-{\frac {1}{n!}}$ ein.

Das vergleichen wir mit der Induktionsbehauptung für $a_{n+1}$ :

$1-{\frac {1}{n!}}+{\frac {n}{(n+1)!}}=1-{\frac {1}{(n+1)!}}$

$-{\frac {(n+1)!}{n!}}+{\frac {n(n+1!)}{(n+1)!}}=-1$

$n+1-n=1$

$1=1$

Die Ind.behauptung $a_{n}=1-{\frac {1}{n!}}$ ist also richtig.

Grenzwert:

$\lim _{n\to \infty }(1-{\frac {1}{n!}})=1$

--Slaybert (Diskussion) 14:23, 14. Apr. 2013 (CEST)

BSP im Informatik-Forum: Bsp 54

--Slaybert (Diskussion) 06:43, 16. Apr. 2013 (CEST)

Lösungsansatz von Padraig[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe https://vowi.fsinf.at/wiki/Datei:TU_Wien-Analysis_UE_(diverse)_-_AnalysisUE_1_2022S.pdf für meinen Lösungsansatz.

-- Saturday 26.03.2022 09:08 (CEST)

Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

Induktionsanfang (IA)
Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$ , falls in jeder $\epsilon$ -Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls $\forall \,\epsilon >0\quad \exists \,N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall \,n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$ (Definition 4.4)

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203 23:36, 16. Mär. 2026 (CET)

Sei die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ rekursiv gegeben durch $a_{0}=0$ und $a_{n+1}=a_{n}+{\frac {n}{(n+1)!}}\quad (n\geq 0)$ .

Man zeige (mit Hilfe vollständiger Induktion): $a_{n}=1-{\frac {1}{n!}}$ .

Wohldefiniert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Folge $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ ist für alle Folgenglieder definiert.

Folge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schauen wir uns die ersten Folgenglieder von $\langle a_{n}\rangle _{\geq 1}\colon \;a_{0}=0\,$ und $\,a_{n+1}=a_{n}+{\frac {n}{(n+1)!}}$ .

{\begin{alignedat}{1}&a_{0}=0=1-{\frac {1}{0!}}=1-1/1=0\\&a_{1}=0+{\frac {0}{(0+1)!}}=0/(1!)=1-{\frac {1}{1!}}=1-1/1=0\\&a_{2}=0+{\frac {0}{(0+1)!}}+{\frac {1}{(1+1)!}}=0/(1!)+1/(2!)=1-{\frac {1}{2!}}=1-1/2=1/2\\&a_{3}=0+{\frac {0}{(0+1)!}}+{\frac {1}{(1+1)!}}+{\frac {2}{(2+1)!}}=0/(1!)+1/(2!)+2/(3!)=3/6+2/6=5/6=1-{\frac {1}{3!}}=1-1/6=5/6\\&a_{4}=0+{\frac {0}{(0+1)!}}+{\frac {1}{(1+1)!}}+{\frac {2}{(2+1)!}}+{\frac {3}{(3+1)!}}=0/(1!)+1/(2!)+2/(3!)+3/(4!)=23/24=1-{\frac {1}{4!}}=1-1/24=23/24\\&a_{n}=0+{\frac {0}{(0+1)!}}+{\frac {1}{(1+1)!}}+\ldots +{\frac {n-1}{((n-1)+1)!}}=0/(1!)+1/(2!)+2/(3!)+3/(4!)+\ldots +(n-1)/(n!)=1-{\frac {1}{n!}}\\&a_{n+1}=0+{\frac {0}{(0+1)!}}+{\frac {1}{(1+1)!}}+\ldots +{\frac {n}{(n+1)!}}=0/(1!)+1/(2!)+2/(3!)+3/(4!)+\ldots +(n)/((n+1)!)=1-{\frac {1}{(n+1)!}}\\&a_{n+1}=\sum _{i=0}^{n}\,{\frac {i}{(i+1)!}}={\color {green}1-{\frac {1}{(n+1)!}}}\end{alignedat}}

Beweis der expliziten Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu zeigen ist $a_{n}=1-{\frac {1}{n!}}$ .

Induktionsanfang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir zeigen zuerst, dass die Induktionsbehauptung $a_{n}=1-{\frac {1}{n!}}$ für die ersten Folgenglieder gilt.

{\begin{alignedat}{1}&a_{0}=0=1-{\frac {1}{0!}}\,&=\,1-{\frac {1}{1}}=0\quad {\color {green}\surd }\\&a_{1}=0+{\frac {0}{(1)!}}=0/1=0\,&=\,1-{\frac {1}{1!}}=0\quad {\color {green}\surd }\\&a_{2}=0+{\frac {1}{2!}}=1/(2!)=1/2\;&=\,1-{\frac {1}{2!}}=1/2\quad {\color {green}\surd }\\&a_{3}=1/2+{\frac {2}{3!}}=5/6\,&=\,1-{\frac {1}{3!}}=1-1/6=5/6\quad {\color {green}\surd }\\\end{alignedat}}

Induktionsbehauptung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Folge $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ gilt die explizite Darstellung $\colon \;a_{n}=1-{\frac {1}{n!}}\,$ .

Die Induktionsbehauptung gilt für $n=0$ . Diesen Wert werden wir auch als Startwert der Induktion hernehmen.

Induktionsschritt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei nun die Induktionsannahme für ein festes $n$ gültig. Wir werden zeigen, dass die Behauptung infolge dieser Aussage auch die Gültigkeit für den Fall $\,n+1\,$ bedeutet.

Sei der Ausdruck $a_{n}=1-{\frac {1}{n!}}$ für ein festes $n\in \mathbb {N}$ gültig. Die Folge $\langle a_{n}\rangle$ ändert sich laut rekursiver Definition um den Summanden $a_{n+1}=a_{n}+{\color {green}{\frac {n}{(n+1)!}}}$ .

D.h., dass $a_{n+1}=1-{\frac {1}{n!}}+{\color {green}{\frac {n}{(n+1)!}}}=1-{\frac {n+1}{(n+1)!}}+{\frac {n}{(n+1)!}}=1+{\frac {-n-1+n}{(n+1)!}}=1-{\frac {1}{(n+1)!}}$ .