TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS13/Beispiel 85

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Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

$\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(n+3)^{\frac {4}{3}}}}$

Hilfreiches

Konvergenz von Reihen

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

• Ist $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ konvergent, dann gilt $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$, aber nicht umgekehrt.   (Satz 4.35)
• $\sum a_{n}$ heißt absolut konvergent, wenn $\sum \left|a_{n}\right|$ konvergent ist.   (Definition 4.43)

"absolut konvergent" ${\begin{Bmatrix}\Rightarrow \\{\underset {i.A.}{\nLeftarrow }}\end{Bmatrix}}$ "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz.   (Satz 4.44)

Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe $\sum a_{n}$, d.h. $\operatorname {sgn}(a_{n})\ =\ (-1)^{n}$, und $\left|a_{n}\right|$ monoton fallend und konvergent nach $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ gilt:

$\sum a_{n}$ ist konvergent.   (Satz 4.41)

Majorantenkriterium

Wenn $\sum b_{n}$ konvergent und $\left|a_{n}\right|\leq b_{n}$ für fast alle $n$, dann ist $\sum a_{n}$ absolut konvergent.   (Satz 4.47)

Lösungsvorschlag

Aufgrund von $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{(n+3)^{\frac {4}{3}}}}\right|=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{(n+3)^{\frac {4}{3}}}}=0$ ist die Reihe konvergent.

Aufgrund von $\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{(n+3)^{\frac {4}{3}}}}<\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{n^{\frac {4}{3}}}}$, wobei Letzteres die konvergente hyperharmonische Reihe ($\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{\alpha }}}$) ist, ist die Reihe absolut konvergent.