TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS13/Beispiel 85

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Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n}{(n+3)^{\frac{4}{3}}}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Konvergenz von Reihen

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

  • Ist \sum_{n=0}^\infty a_n konvergent, dann gilt \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0, aber nicht umgekehrt.   (Satz 4.35)
  • \sum a_n heißt absolut konvergent, wenn \sum\left|a_n\right| konvergent ist.   (Definition 4.43)
"absolut konvergent" \begin{Bmatrix}\Rightarrow\\\underset{i.A.}{\nLeftarrow}\end{Bmatrix} "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz.   (Satz 4.44)
Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe \sum a_n, d.h. \sgn(a_n) \ = \ (-1)^n, und \left|a_n\right| monoton fallend und konvergent nach \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0 gilt:

\sum a_n ist konvergent.   (Satz 4.41)

Majorantenkriterium

Wenn \sum b_n konvergent und \left|a_n\right|\leq b_n\;\forall n, dann ist \sum a_n absout konvergent.   (Satz 4.47)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Aufgrund von \lim_{n\to\infty}\left|\frac{(-1)^n}{(n+3)^{\frac{4}{3}}}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+3)^{\frac{4}{3}}} = 0 ist die Reihe konvergent.

Aufgrund von \sum_{n\ge0} \frac{1}{(n+3)^{\frac{4}{3}}} < \sum_{n\ge0} \frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}, wobei Letzteres die konvergente hyperharmonische Reihe (\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^\alpha}) ist, ist die Reihe absolut konvergent.